Номер 27, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27. В равнобедренный прямоугольный треугольник с длиной катета в $4\sqrt{2}$ см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины прямоугольника лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах треугольника. Найдите значения длин сторон прямоугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты $AC = BC = 4\sqrt{2}$ см. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, его острые углы при гипотенузе равны $45^\circ$: $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 32 + 32 = 64$

$AB = \sqrt{64} = 8$ см.

В треугольник вписан прямоугольник $KLMN$ так, что вершины $K$ и $L$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $M$ и $N$ — на катетах $BC$ и $AC$ соответственно.

Обозначим стороны прямоугольника: пусть его высота $KN = LM = y$, а длина $KL = NM = x$. Площадь прямоугольника $S = x \cdot y$. Нам нужно найти значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет наибольшей.

Рассмотрим маленькие треугольники $ANK$ и $BML$, которые отсекаются прямоугольником от основного треугольника.

В треугольнике $ANK$: $\angle A = 45^\circ$, $\angle NKA = 90^\circ$ (так как $KN$ — сторона прямоугольника и перпендикулярна $AB$). Следовательно, $\angle ANK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, треугольник $ANK$ — равнобедренный, и $AK = KN = y$.

Аналогично, в треугольнике $BML$: $\angle B = 45^\circ$, $\angle MLB = 90^\circ$. Следовательно, $\angle BML = 45^\circ$. Треугольник $BML$ — равнобедренный, и $BL = LM = y$.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AK$, $KL$ и $LB$.

$AB = AK + KL + LB$

Подставим известные значения и переменные:

$8 = y + x + y$

$8 = x + 2y$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 8 - 2y$

Теперь запишем формулу площади прямоугольника как функцию от одной переменной $y$:

$S(y) = x \cdot y = (8 - 2y) \cdot y = 8y - 2y^2$.

Эта функция является квадратичной параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $y^2$ отрицательный). Своё наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координата вершины параболы $S(y) = ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_0 = -b / (2a)$. В нашем случае $a = -2$, $b = 8$.

$y = - \frac{8}{2 \cdot (-2)} = - \frac{8}{-4} = 2$.

Таким образом, высота прямоугольника равна 2 см.

Теперь найдем длину второй стороны прямоугольника $x$:

$x = 8 - 2y = 8 - 2 \cdot 2 = 8 - 4 = 4$.

Длина прямоугольника равна 4 см.

Значения длин сторон прямоугольника наибольшей площади равны 2 см и 4 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2 см и 4 см.