Номер 34, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

34. При каких значениях a многочлен Q(y) имеет корень, равный 1:

1) $Q(y) = 2y^3 - 3y^2 + 3y + 2a^2 - 3a - 7;$

2) $Q(y) = y^3 + 7y^2 - 2y + a^2 - 5a?$

Если число является корнем многочлена, то при подстановке этого числа вместо переменной значение многочлена будет равно нулю. По условию, $y=1$ является корнем многочлена $Q(y)$, следовательно, должно выполняться равенство $Q(1)=0$. Чтобы найти значения параметра $a$, при которых это условие выполняется, подставим $y=1$ в каждое из выражений и решим полученные уравнения относительно $a$.

1) Для многочлена $Q(y) = 2y^3 - 3y^2 + 3y + 2a^2 - 3a - 7$ подставим $y=1$:

$Q(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) + 2a^2 - 3a - 7 = 0$

Выполним вычисления:

$2 - 3 + 3 + 2a^2 - 3a - 7 = 0$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение относительно $a$:

$2a^2 - 3a - 5 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Теперь найдем значения $a$:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Следовательно, при $a=-1$ и $a=2.5$ многочлен имеет корень, равный 1.

Ответ: $a=-1; a=2.5$.

2) Для многочлена $Q(y) = y^3 + 7y^2 - 2y + a^2 - 5a$ проделаем ту же операцию, подставив $y=1$:

$Q(1) = (1)^3 + 7(1)^2 - 2(1) + a^2 - 5a = 0$

Выполним вычисления:

$1 + 7 - 2 + a^2 - 5a = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 5a + 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней $a_1 + a_2 = 5$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 6$. Подбором находим, что корнями являются числа 2 и 3.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Найдем значения $a$:

$a_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Следовательно, при $a=2$ и $a=3$ многочлен имеет корень, равный 1.

Ответ: $a=2; a=3$.