Номер 39, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

39. Найдите коэффициент при $x^n$ в разложении бинома Ньютона:

1) $(x + 3)^6, n = 3;$

2) $(1 - 3x)^7, n = 4.$

1) Для нахождения коэффициента при $x^n$ в разложении бинома Ньютона $(a+b)^k$ используется формула общего члена разложения: $T_{m+1} = C_k^m a^{k-m} b^m$, где $C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном случае нам нужно найти коэффициент при $x^3$ в разложении $(x+3)^6$.

Здесь $a = x$, $b = 3$, $k = 6$. Общий член разложения имеет вид: $T_{m+1} = C_6^m x^{6-m} 3^m$.

Нам нужен член, содержащий $x^3$. Это означает, что степень $x$ должна быть равна 3:

$6 - m = 3$

$m = 3$

Теперь подставим $m=3$ в формулу общего члена, чтобы найти искомый член разложения:

$T_{3+1} = T_4 = C_6^3 x^{6-3} 3^3 = C_6^3 x^3 3^3$.

Коэффициент при $x^3$ равен $C_6^3 \cdot 3^3$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^3$:

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Теперь вычислим искомый коэффициент:

Коэффициент = $20 \cdot 3^3 = 20 \cdot 27 = 540$.

Ответ: 540.

2) Используем ту же формулу общего члена разложения бинома Ньютона: $T_{m+1} = C_k^m a^{k-m} b^m$.

Нам нужно найти коэффициент при $x^4$ в разложении $(1-3x)^7$.

Здесь $a = 1$, $b = -3x$, $k = 7$. Общий член разложения имеет вид:

$T_{m+1} = C_7^m (1)^{7-m} (-3x)^m = C_7^m (-3)^m x^m$.

Нам нужен член, содержащий $x^4$. Это означает, что степень $x$ должна быть равна 4:

$m = 4$

Подставим $m=4$ в формулу общего члена:

$T_{4+1} = T_5 = C_7^4 (-3)^4 x^4$.

Коэффициент при $x^4$ равен $C_7^4 \cdot (-3)^4$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_7^4$:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Теперь вычислим искомый коэффициент:

Коэффициент = $35 \cdot (-3)^4 = 35 \cdot 81 = 2835$.

Ответ: 2835.