Номер 35, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

35. 1) Остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - 5x + 6$ равен $2x - 5$. Найдите значение $P(2) - 3P(3)$;

2) остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - x - 6$ равен $5x - 7$. Найдите значение $P(3) - 2P(-2)$.

1) Согласно теореме о делении многочлена с остатком, многочлен $P(x)$ можно представить в виде:

$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$,

где $Q(x)$ – частное, $D(x)$ – делитель, а $R(x)$ – остаток.

По условию, $D(x) = x^2 - 5x + 6$ и $R(x) = 2x - 5$. Таким образом, мы имеем:

$P(x) = Q(x) \cdot (x^2 - 5x + 6) + (2x - 5)$.

Найдем корни трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Следовательно, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Это означает, что $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Тогда равенство можно переписать как:

$P(x) = Q(x) \cdot (x - 2)(x - 3) + (2x - 5)$.

Теперь мы можем найти значения $P(2)$ и $P(3)$, подставив в это равенство $x=2$ и $x=3$.

При $x = 2$:

$P(2) = Q(2) \cdot (2 - 2)(2 - 3) + (2 \cdot 2 - 5) = Q(2) \cdot 0 \cdot (-1) + (4 - 5) = 0 - 1 = -1$.

При $x = 3$:

$P(3) = Q(3) \cdot (3 - 2)(3 - 3) + (2 \cdot 3 - 5) = Q(3) \cdot 1 \cdot 0 + (6 - 5) = 0 + 1 = 1$.

Теперь вычислим искомое значение выражения $P(2) - 3P(3)$:

$P(2) - 3P(3) = -1 - 3 \cdot 1 = -1 - 3 = -4$.

Ответ: -4

2) Аналогично первому пункту, представим многочлен $P(x)$ в виде:

$P(x) = Q(x) \cdot (x^2 - x - 6) + (5x - 7)$.

Найдем корни трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Следовательно, корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Это означает, что $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

Перепишем равенство:

$P(x) = Q(x) \cdot (x - 3)(x + 2) + (5x - 7)$.

Найдем значения $P(3)$ и $P(-2)$, подставив в это равенство $x=3$ и $x=-2$.

При $x = 3$:

$P(3) = Q(3) \cdot (3 - 3)(3 + 2) + (5 \cdot 3 - 7) = Q(3) \cdot 0 \cdot 5 + (15 - 7) = 0 + 8 = 8$.

При $x = -2$:

$P(-2) = Q(-2) \cdot (-2 - 3)(-2 + 2) + (5 \cdot (-2) - 7) = Q(-2) \cdot (-5) \cdot 0 + (-10 - 7) = 0 - 17 = -17$.

Теперь вычислим искомое значение выражения $P(3) - 2P(-2)$:

$P(3) - 2P(-2) = 8 - 2 \cdot (-17) = 8 + 34 = 42$.

Ответ: 42