Номер 32, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

32. Разложите на линейные множители многочлен:

1) $y^4 - 10y^2 + 9;$

2) $y^3 + 3y^2 - 4y - 12.$

1) Для разложения многочлена $y^4 - 10y^2 + 9$ на линейные множители, который является биквадратным, введем замену переменной. Пусть $x = y^2$. Тогда исходное выражение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $x$:

$x^2 - 10x + 9 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком ($10$), а их произведение равно свободному члену ($9$). Подбором находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 9$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a=1$:

$x^2 - 10x + 9 = (x - 1)(x - 9)$

Произведем обратную замену, подставив $y^2$ вместо $x$:

$(y^2 - 1)(y^2 - 9)$

Каждый из полученных двучленов является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^2 - 1 = y^2 - 1^2 = (y - 1)(y + 1)$

$y^2 - 9 = y^2 - 3^2 = (y - 3)(y + 3)$

Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена на линейные множители имеет вид:

$(y - 1)(y + 1)(y - 3)(y + 3)$

Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y - 3)(y + 3)$.

2) Разложим многочлен $y^3 + 3y^2 - 4y - 12$ на множители, применив метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(y^3 + 3y^2) + (-4y - 12)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $y^2$, а из второй группы вынесем $-4$:

$y^2(y + 3) - 4(y + 3)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(y + 3)$. Вынесем его за скобки:

$(y + 3)(y^2 - 4)$

Второй множитель, $(y^2 - 4)$, является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^2 - 4 = y^2 - 2^2 = (y - 2)(y + 2)$

Подставим это разложение в наше выражение и получим окончательное разложение на линейные множители:

$(y + 3)(y - 2)(y + 2)$

Ответ: $(y - 2)(y + 2)(y + 3)$.