Номер 25, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25. Надо огородить участок земли прямоугольной формы, примыкающей одной стороной к реке. Имеется 600 м проволоки. Найдите размеры этого участка, чтобы его площадь была наибольшей.

Для решения этой задачи по оптимизации введем переменные. Пусть $x$ — это длина сторон участка, перпендикулярных реке, а $y$ — это длина стороны, параллельной реке. Так как одна сторона участка примыкает к реке, то ее огораживать не нужно.

Общая длина проволоки, которая используется для ограждения трех сторон, составляет 600 м. Таким образом, мы можем составить уравнение для периметра огороженной части:

$P = x + x + y = 2x + y$

По условию $P = 600$ м, следовательно:

$2x + y = 600$

Площадь $S$ прямоугольного участка вычисляется по формуле:

$S = x \cdot y$

Наша цель — найти такие значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет максимальной. Для этого выразим одну переменную через другую из уравнения для периметра и подставим в формулу площади. Выразим $y$:

$y = 600 - 2x$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $x$:

$S(x) = x \cdot (600 - 2x) = 600x - 2x^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(x) = -2x^2 + 600x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-2 < 0$). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x_0$ вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Для нашей функции $a = -2$ и $b = 600$. Вычислим $x_0$:

$x_0 = -\frac{600}{2 \cdot (-2)} = -\frac{600}{-4} = 150$

Итак, длина сторон, перпендикулярных реке, должна быть равна 150 м. Теперь найдем длину стороны, параллельной реке:

$y = 600 - 2x = 600 - 2 \cdot 150 = 600 - 300 = 300$

Таким образом, размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей, составляют 150 м и 300 м.

Ответ: размеры участка 150 м и 300 м (где сторона длиной 300 м примыкает к реке).