Номер 21, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21. Дан график производной функции $f'(x)$ (рис. 2).

Рис. 2

Найдите точки максимума и точки минимума функции.

Для нахождения точек максимума и минимума функции $f(x)$ по графику её производной $f'(x)$, необходимо найти точки, в которых производная равна нулю и проанализировать, как меняется её знак при переходе через эти точки.

Точки, в которых производная $f'(x) = 0$, являются точками пересечения её графика с осью абсцисс ($Ox$). Из рисунка видно, что это точки $x = -3$, $x = 1$ и $x = 3$.

Точки максимума

Точка максимума — это точка, в которой функция перестает возрастать и начинает убывать. Это происходит, когда её производная $f'(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный.

Рассмотрим точку $x = 1$. Слева от этой точки график $f'(x)$ находится выше оси $Ox$, то есть $f'(x) > 0$. Справа от точки $x=1$ график находится ниже оси $Ox$, то есть $f'(x) < 0$. Таким образом, в точке $x = 1$ знак производной меняется с «+» на «−», что соответствует точке максимума функции $f(x)$.

Ответ: точка максимума $x = 1$.

Точки минимума

Точка минимума — это точка, в которой функция перестает убывать и начинает возрастать. Это происходит, когда её производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный.

Рассмотрим точку $x = -3$. Слева от этой точки график $f'(x)$ находится ниже оси $Ox$ ($f'(x) < 0$), а справа — выше оси $Ox$ ($f'(x) > 0$). Следовательно, в точке $x = -3$ знак производной меняется с «−» на «+», и это точка минимума.

Рассмотрим точку $x = 3$. Слева от этой точки график $f'(x)$ находится ниже оси $Ox$ ($f'(x) < 0$), а справа — выше оси $Ox$ ($f'(x) > 0$). Следовательно, в точке $x = 3$ знак производной также меняется с «−» на «+», и это тоже точка минимума.

Ответ: точки минимума $x = -3$ и $x = 3$.