Номер 14, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14. Решите уравнение:

1) $ \sin^4 \frac{x}{2} = \cos^4 \frac{x}{2} + \frac{1}{4} $;

2) $ \sin^6 x + \cos^6 x = \frac{7}{16} $;

3) $ \cos^2 x - \cos^2 2x = \cos^2 4x - \cos^2 3x $;

4) $ 5\sin^2 x - \sqrt{3} \cos x \cdot \sin x + 6\cos^2 x = 5 $;

5) $ (x - 1)^2 (x^2 - 2x) = 12 $;

6) $ (x - 3)^2 (x^2 - 6x) + 16 = 4 $;

7) $ (x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) - 3 = 0 $;

8) $ (x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x - 2) + 1 = 0 $;

9) $ \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 7\left(x + \frac{1}{x}\right) + 12 = 0 $;

10) $ \left(x^2 + \frac{4}{x^2}\right) - \left(x - \frac{2}{x}\right) - 16 = 0 $.

1) Исходное уравнение: $sin^4\frac{x}{2} = cos^4\frac{x}{2} + \frac{1}{4}$.

Перенесем $cos^4\frac{x}{2}$ в левую часть и умножим обе части на -1:

$cos^4\frac{x}{2} - sin^4\frac{x}{2} = -\frac{1}{4}$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = cos^2\frac{x}{2}$ и $b = sin^2\frac{x}{2}$:

$(cos^2\frac{x}{2} - sin^2\frac{x}{2})(cos^2\frac{x}{2} + sin^2\frac{x}{2}) = -\frac{1}{4}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Для $\alpha = \frac{x}{2}$ имеем:

$cos(2 \cdot \frac{x}{2}) \cdot 1 = -\frac{1}{4}$.

$cos x = -\frac{1}{4}$.

Отсюда находим $x$:

$x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin^6x + cos^6x = \frac{7}{16}$.

Представим левую часть как сумму кубов $(sin^2x)^3 + (cos^2x)^3$ и воспользуемся формулой $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(sin^2x + cos^2x)(sin^4x - sin^2x cos^2x + cos^4x) = \frac{7}{16}$.

Так как $sin^2x + cos^2x = 1$, уравнение упрощается:

$sin^4x + cos^4x - sin^2x cos^2x = \frac{7}{16}$.

Выражение $sin^4x + cos^4x$ можно преобразовать: $sin^4x + cos^4x = (sin^2x+cos^2x)^2 - 2sin^2xcos^2x = 1 - 2sin^2xcos^2x$.

Подставим это в уравнение:

$(1 - 2sin^2xcos^2x) - sin^2xcos^2x = \frac{7}{16}$.

$1 - 3sin^2xcos^2x = \frac{7}{16}$.

$3sin^2xcos^2x = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.

$sin^2xcos^2x = \frac{3}{16}$.

$(sinx cosx)^2 = \frac{3}{16}$.

Используя формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$, получаем $sinxcosx = \frac{sin(2x)}{2}$:

$(\frac{sin(2x)}{2})^2 = \frac{3}{16} \Rightarrow \frac{sin^2(2x)}{4} = \frac{3}{16} \Rightarrow sin^2(2x) = \frac{3}{4}$.

Применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1-cos(4x)}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow 1 - cos(4x) = \frac{3}{2} \Rightarrow cos(4x) = -\frac{1}{2}$.

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $cos^2x - cos^22x = cos^24x - cos^23x$.

Сгруппируем члены: $cos^2x + cos^23x = cos^22x + cos^24x$.

Используем формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1+cos(2x)}{2} + \frac{1+cos(6x)}{2} = \frac{1+cos(4x)}{2} + \frac{1+cos(8x)}{2}$.

Умножим обе части на 2 и упростим:

$2 + cos(2x) + cos(6x) = 2 + cos(4x) + cos(8x)$.

$cos(2x) + cos(6x) = cos(4x) + cos(8x)$.

Применим формулу суммы косинусов $cosA + cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$:

$2cos(\frac{2x+6x}{2})cos(\frac{6x-2x}{2}) = 2cos(\frac{4x+8x}{2})cos(\frac{8x-4x}{2})$.

$2cos(4x)cos(2x) = 2cos(6x)cos(2x)$.

$cos(2x)(cos(4x) - cos(6x)) = 0$.

Получаем два случая:

1) $cos(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $cos(4x) = cos(6x) \Rightarrow 6x = \pm 4x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$6x = 4x + 2\pi n \Rightarrow 2x = 2\pi n \Rightarrow x = \pi n$.

$6x = -4x + 2\pi n \Rightarrow 10x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{5}$.

Серия корней $x = \pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi n}{5}$ (при $n$, кратных 5).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi n}{5}, k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $5sin^2x - \sqrt{3}cosx sinx + 6cos^2x = 5$.

Заменим 5 в правой части на $5(sin^2x + cos^2x)$:

$5sin^2x - \sqrt{3}sinx cosx + 6cos^2x = 5sin^2x + 5cos^2x$.

Упростим уравнение:

$-\sqrt{3}sinx cosx + cos^2x = 0$.

Вынесем $cosx$ за скобки: $cosx(-\sqrt{3}sinx + cosx) = 0$.

Получаем два случая:

1) $cosx = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $-\sqrt{3}sinx + cosx = 0 \Rightarrow cosx = \sqrt{3}sinx$.

Если $cosx=0$, то $sinx=\pm 1$, и равенство не выполняется, значит можно разделить на $cosx \neq 0$:

$1 = \sqrt{3}tanx \Rightarrow tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = \frac{\pi}{6} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $(x-1)^2(x^2 - 2x) = 12$.

Заметим, что $x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$.

Сделаем замену $t = (x-1)^2$. Тогда $x^2 - 2x = t - 1$. Уравнение принимает вид:

$t(t-1) = 12$.

$t^2 - t - 12 = 0$.

Решаем квадратное уравнение относительно $t$: $(t-4)(t+3) = 0$.

Корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $(x-1)^2 = 4 \Rightarrow x-1 = \pm 2$.

$x-1 = 2 \Rightarrow x = 3$.

$x-1 = -2 \Rightarrow x = -1$.

2) $(x-1)^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: $x = -1, x = 3$.

6) Исходное уравнение: $(x-3)^2(x^2 - 6x) + 16 = 4$.

$(x-3)^2(x^2 - 6x) = -12$.

Заметим, что $x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x-3)^2 - 9$.

Сделаем замену $t = (x-3)^2$. Тогда $x^2 - 6x = t - 9$. Уравнение принимает вид:

$t(t-9) = -12$.

$t^2 - 9t + 12 = 0$.

Решаем квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 81 - 48 = 33$.

$t = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Оба значения $t$ положительны, так как $9 > \sqrt{33}$.

Вернемся к замене:

$(x-3)^2 = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}$.

$x-3 = \pm \sqrt{\frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}}$.

$x = 3 \pm \sqrt{\frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}}$.

Ответ: $x = 3 \pm \sqrt{\frac{9 + \sqrt{33}}{2}}, x = 3 \pm \sqrt{\frac{9 - \sqrt{33}}{2}}$.

7) Исходное уравнение: $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2 - 3x$. Уравнение принимает вид:

$(t+1)(t+3) - 3 = 0$.

$t^2 + 4t + 3 - 3 = 0$.

$t^2 + 4t = 0 \Rightarrow t(t+4) = 0$.

Корни: $t_1 = 0$, $t_2 = -4$.

Вернемся к замене:

1) $x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=3$.

2) $x^2 - 3x = -4 \Rightarrow x^2 - 3x + 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x = 0, x = 3$.

8) Исходное уравнение: $(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x - 2) + 1 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2 + 3x$. Уравнение принимает вид:

$(t-4)(t-2) + 1 = 0$.

$t^2 - 6t + 8 + 1 = 0$.

$t^2 - 6t + 9 = 0$.

$(t-3)^2 = 0$.

Отсюда $t = 3$.

Вернемся к замене: $x^2 + 3x = 3 \Rightarrow x^2 + 3x - 3 = 0$.

Решаем квадратное уравнение:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

9) Исходное уравнение: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0$. Очевидно, $x \neq 0$.

Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 - 2) + 7t + 12 = 0$.

$t^2 + 7t + 10 = 0$.

$(t+2)(t+5) = 0$.

Корни: $t_1 = -2$, $t_2 = -5$.

Вернемся к замене:

1) $x + \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2 + 1 = -2x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$.

2) $x + \frac{1}{x} = -5 \Rightarrow x^2 + 1 = -5x \Rightarrow x^2 + 5x + 1 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21$.

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x = -1, x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

10) Исходное уравнение: $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 16 = 0$. Очевидно, $x \neq 0$.

Сделаем замену $t = x - \frac{2}{x}$. Тогда $t^2 = (x - \frac{2}{x})^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 4$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 + 4) - t - 16 = 0$.

$t^2 - t - 12 = 0$.

$(t-4)(t+3) = 0$.

Корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $x - \frac{2}{x} = 4 \Rightarrow x^2 - 2 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x - 2 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.

2) $x - \frac{2}{x} = -3 \Rightarrow x^2 - 2 = -3x \Rightarrow x^2 + 3x - 2 = 0$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $x = 2 \pm \sqrt{6}, x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.