Номер 11, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11. 1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{x-2}{2} > \frac{(\sqrt{x}-6)^2}{x-7}$.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{6-x}{\sqrt{x^2-8x+7}} \ge 0$.

3) Решите неравенство $(x^2+4x-12) \cdot \sqrt{x^2+2x-3} < 0$.

1) Исходное неравенство: $ \frac{x-2}{2} > \frac{(\sqrt{x}-6)^2}{x-7} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ x \ge 0 $.

2. Знаменатель не может быть равен нулю: $ x - 7 \neq 0 $, то есть $ x \neq 7 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in [0, 7) \cup (7, +\infty) $.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя $ x - 7 $.

Случай 1: $ x - 7 > 0 $, то есть $ x > 7 $.

В этом случае мы можем умножить обе части неравенства на $ 2(x-7) > 0 $, не меняя знака неравенства:

$ (x-2)(x-7) > 2(\sqrt{x}-6)^2 $

Правая часть $ 2(\sqrt{x}-6)^2 $ всегда неотрицательна. Левая часть $ (x-2)(x-7) $ при $ x > 7 $ также всегда положительна. Решим это неравенство. $ x^2 - 9x + 14 > 2(x - 12\sqrt{x} + 36) $

$ x^2 - 9x + 14 > 2x - 24\sqrt{x} + 72 $

$ x^2 - 11x - 58 + 24\sqrt{x} > 0 $.

Решение этого иррационального неравенства затруднительно, поэтому вернемся к исходному и проанализируем его иначе.

Случай 2: $ x - 7 < 0 $, то есть $ 0 \le x < 7 $.

Умножим обе части на $ 2(x-7) < 0 $, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$ (x-2)(x-7) < 2(\sqrt{x}-6)^2 $

Рассмотрим подынтервалы.

- Если $ 2 \le x < 7 $, то $ x-2 \ge 0 $ и $ x-7 < 0 $. Левая часть $ (x-2)(x-7) \le 0 $.

Правая часть $ 2(\sqrt{x}-6)^2 $ всегда неотрицательна. Если $ x \neq 36 $, то она строго положительна. В нашем интервале $ x < 7 $, поэтому $ x \neq 36 $.

Таким образом, на интервале $ [2, 7) $ мы имеем (неположительное число) < (положительное число), что всегда верно.

- Если $ 0 \le x < 2 $, то $ x-2 < 0 $ и $ x-7 < 0 $. Левая часть $ (x-2)(x-7) > 0 $.

Проверим граничное значение $ x=0 $.

$ \frac{0-2}{2} > \frac{(\sqrt{0}-6)^2}{0-7} \implies \frac{-2}{2} > \frac{36}{-7} \implies -1 > -5.14... $

Это верное неравенство, значит $ x=0 $ является решением.

Так как $ x=0 $ является решением, и интервал $ [2, 7) $ также является решением, наименьшее целое число, входящее в область решений, — это 0. Нам не требуется находить точное решение для $ x > 7 $, так как мы уже нашли наименьшее целое решение.

Ответ: 0

2) Исходное неравенство: $ \frac{6-x}{\sqrt{x^2-8x+7}} > 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$ x^2-8x+7 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ x^2-8x+7=0 $. По теореме Виета, корни $ x_1=1 $ и $ x_2=7 $.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней.

ОДЗ: $ x \in (-\infty, 1) \cup (7, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство. Знаменатель $ \sqrt{x^2-8x+7} $ в области ОДЗ всегда строго положителен. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя.

Для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был положителен:

$ 6-x > 0 $

$ x < 6 $.

Теперь найдем пересечение полученного решения $ x < 6 $ с ОДЗ $ x \in (-\infty, 1) \cup (7, +\infty) $.

Пересечением этих двух условий является интервал $ x \in (-\infty, 1) $.

Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа, принадлежащие интервалу $ (-\infty, 1) $, это $ ...-2, -1, 0 $. Наибольшее из них — 0.

Ответ: 0

3) Исходное неравенство: $ (x^2+4x-12) \cdot \sqrt{x^2+2x-3} < 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$ x^2+2x-3 \ge 0 $.

Найдем корни уравнения $ x^2+2x-3=0 $. По теореме Виета, корни $ x_1=1 $ и $ x_2=-3 $.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому она неотрицательна на концах и за пределами корней.

ОДЗ: $ x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty) $.

Теперь решим неравенство. Множитель $ \sqrt{x^2+2x-3} $ по определению всегда неотрицателен ($ \ge 0 $).

Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Так как второй множитель не может быть отрицательным, для выполнения неравенства необходимо, чтобы:

1. Первый множитель был отрицательным: $ x^2+4x-12 < 0 $.

2. Второй множитель был строго положительным (не равным нулю): $ \sqrt{x^2+2x-3} > 0 $, что равносильно $ x^2+2x-3 > 0 $.

Решим первое неравенство: $ x^2+4x-12 < 0 $.

Найдем корни уравнения $ x^2+4x-12=0 $. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем $ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4(1)(-12)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} $.

Корни $ x_1 = -6 $ и $ x_2 = 2 $.

Это парабола с ветвями вверх, значит, она отрицательна между корнями: $ x \in (-6, 2) $.

Второе условие $ x^2+2x-3 > 0 $ означает, что $ x \neq 1 $ и $ x \neq -3 $. Это условие ужесточает ОДЗ до $ x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) $.

Теперь найдем пересечение множества решений $ x \in (-6, 2) $ и новой, более строгой, ОДЗ $ x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) $.

Пересекая $ (-6, 2) $ с $ (-\infty, -3) $, получаем $ (-6, -3) $.

Пересекая $ (-6, 2) $ с $ (1, +\infty) $, получаем $ (1, 2) $.

Объединяя эти два интервала, получаем окончательное решение.

Ответ: $ x \in (-6, -3) \cup (1, 2) $