Номер 6, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на заданном промежутке:

1) $y = x^4 - 8x^2 - 9$, $[-1; 3];$

2) $y = 2 + 3x^5 - 5x^3$, $[2; 3];$

3) $y = \sqrt{x} - x$, $[0; 4];$

4) $y = \frac{1}{x} + x$, $[0.5; 4].$

1) Дана функция $y = x^4 - 8x^2 - 9$ на промежутке $[-1; 3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем ее производную:

$y' = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x-2)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Проверим, какие из этих точек принадлежат заданному промежутку $[-1; 3]$.

Точка $x = 0$ принадлежит промежутку $[-1; 3]$.

Точка $x = 2$ принадлежит промежутку $[-1; 3]$.

Точка $x = -2$ не принадлежит промежутку $[-1; 3]$.

Вычислим значения функции в найденных критических точках, принадлежащих промежутку, и на концах этого промежутка:

$y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

$y(0) = 0^4 - 8(0)^2 - 9 = -9$.

$y(2) = 2^4 - 8(2)^2 - 9 = 16 - 8 \cdot 4 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$.

$y(3) = 3^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 8 \cdot 9 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$.

Среди полученных значений $\{-16; -9; -25; 0\}$ выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение равно $0$, наименьшее значение равно $-25$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-25$.

2) Дана функция $y = 2 + 3x^5 - 5x^3$ на промежутке $[2; 3]$.

Найдем производную функции:

$y' = (2 + 3x^5 - 5x^3)' = 15x^4 - 15x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$15x^4 - 15x^2 = 0$

$15x^2(x^2 - 1) = 0$

$15x^2(x-1)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Ни одна из этих точек не попадает в заданный промежуток $[2; 3]$. Следовательно, функция на этом промежутке монотонна, и свои наибольшее и наименьшее значения принимает на его концах.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

$y(2) = 2 + 3(2)^5 - 5(2)^3 = 2 + 3 \cdot 32 - 5 \cdot 8 = 2 + 96 - 40 = 58$.

$y(3) = 2 + 3(3)^5 - 5(3)^3 = 2 + 3 \cdot 243 - 5 \cdot 27 = 2 + 729 - 135 = 596$.

Сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение $596$, наименьшее значение $58$.

3) Дана функция $y = \sqrt{x} - x$ на промежутке $[0; 4]$.

Найдем производную функции:

$y' = (\sqrt{x} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$ (при условии $x > 0$):

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{4} = 0,25$.

Критическая точка $x = 0,25$ принадлежит промежутку $[0; 4]$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка $[0; 4]$:

$y(0) = \sqrt{0} - 0 = 0$.

$y(0,25) = \sqrt{0,25} - 0,25 = 0,5 - 0,25 = 0,25$.

$y(4) = \sqrt{4} - 4 = 2 - 4 = -2$.

Среди значений $\{0; 0,25; -2\}$ наибольшее равно $0,25$, а наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $0,25$, наименьшее значение $-2$.

4) Дана функция $y = \frac{1}{x} + x$ на промежутке $[0,5; 4]$.

Найдем производную функции:

$y' = (\frac{1}{x} + x)' = -\frac{1}{x^2} + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-\frac{1}{x^2} + 1 = 0$

$1 = \frac{1}{x^2}$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Заданному промежутку $[0,5; 4]$ принадлежит только точка $x = 1$.

Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах промежутка:

$y(0,5) = \frac{1}{0,5} + 0,5 = 2 + 0,5 = 2,5$.

$y(1) = \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 = 2$.

$y(4) = \frac{1}{4} + 4 = 0,25 + 4 = 4,25$.

Среди значений $\{2,5; 2; 4,25\}$ наибольшее равно $4,25$, а наименьшее равно $2$.

Ответ: наибольшее значение $4,25$, наименьшее значение $2$.