Номер 5, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5. Найдите значение $f''(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = 4x + \sin3x$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

2) $f(x) = 2x + \cos4x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

3) $f(x) = x + \sin^2 3x$, $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

1) Для функции $f(x) = 4x + \sin(3x)$ найдем ее производную. Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = (4x)' + (\sin(3x))'$. Производная от $4x$ равна $4$. Производную от $\sin(3x)$ находим как производную сложной функции: $(\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$. Таким образом, получаем производную $f'(x) = 4 + 3\cos(3x)$. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$: $f'(\frac{\pi}{2}) = 4 + 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = 4 + 3\cos(\frac{3\pi}{2})$. Так как $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, то $f'(\frac{\pi}{2}) = 4 + 3 \cdot 0 = 4$. Ответ: 4

2) Для функции $f(x) = 2x + \cos(4x)$ найдем ее производную. $f'(x) = (2x)' + (\cos(4x))'$. Производная от $2x$ равна $2$. Производная от $\cos(4x)$ является производной сложной функции: $(\cos(4x))' = -\sin(4x) \cdot (4x)' = -4\sin(4x)$. Следовательно, $f'(x) = 2 - 4\sin(4x)$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$: $f'(\frac{\pi}{4}) = 2 - 4\sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2 - 4\sin(\pi)$. Так как $\sin(\pi) = 0$, то $f'(\frac{\pi}{4}) = 2 - 4 \cdot 0 = 2$. Ответ: 2

3) Для функции $f(x) = x + \sin^2(3x)$ найдем ее производную. $f'(x) = (x)' + (\sin^2(3x))'$. Производная от $x$ равна $1$. Для нахождения производной $(\sin^2(3x))'$ используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = \sin(3x)$, тогда ищем производную от $u^2$, которая равна $2u \cdot u'$. Найдем $u' = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$. Тогда $(\sin^2(3x))' = 2\sin(3x) \cdot 3\cos(3x) = 6\sin(3x)\cos(3x)$. Это выражение можно упростить с помощью формулы двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получив $3\sin(6x)$. Таким образом, $f'(x) = 1 + 3\sin(6x)$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$: $f'(-\frac{\pi}{2}) = 1 + 3\sin(6 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 1 + 3\sin(-3\pi)$. Так как $\sin(-3\pi) = 0$, то $f'(-\frac{\pi}{2}) = 1 + 3 \cdot 0 = 1$. Ответ: 1