Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Найдите значение выражения:

1) $ \arcsin 0.5 + \arccos (-1) - \arccos 0 - \arctan 1 $

2) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - \text{arcctg}1 $

3) $ \arctan \sqrt{3} + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} - \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \arcsin 1 $

4) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos \frac{1}{2} - \arccos 0 - \text{arcctg}(-1) $

1) Чтобы найти значение выражения $arcsin(0.5) + arccos(-1) - arccos(0) - arctg(1)$, определим значение каждого члена выражения на основе определения обратных тригонометрических функций.

- $arcsin(0.5)$ – это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $0.5$. Следовательно, $arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$.

- $arccos(-1)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-1$. Следовательно, $arccos(-1) = \pi$.

- $arccos(0)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $0$. Следовательно, $arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

- $arctg(1)$ – это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $1$. Следовательно, $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{\pi}{6} + \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $12$:

$\frac{2\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{(2 + 12 - 6 - 3)\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{12}$.

2) Рассмотрим выражение $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) - arcctg(1)$. Найдем значение каждого слагаемого.

- $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ – это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

- $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{3\pi}{4}$. (Используя свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем $\pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$).

- $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.

- $arcctg(1)$ – это угол из промежутка $(0, \pi)$, котангенс которого равен $1$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

Подставим значения в выражение:

$\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}$

Сгруппируем слагаемые и вычислим:

$(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) + (\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = (\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

3) Вычислим значение выражения $arctg(\sqrt{3}) + arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) - arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - arcsin(1)$.

- $arctg(\sqrt{3})$ – угол из $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

- $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ – угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

- $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ – угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{5\pi}{6}$. (Используя свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем $\pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$).

- $arcsin(1)$ – угол из $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $1$. Этот угол равен $\frac{\pi}{2}$.

Подставим значения:

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $12$:

$\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = \frac{(4 + 3 - 10 - 6)\pi}{12} = \frac{(7 - 16)\pi}{12} = -\frac{9\pi}{12} = -\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}$.

4) Найдем значение выражения $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arccos(\frac{1}{2}) - arccos(0) - arcctg(-1)$.

- $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ – угол из $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $-\frac{\pi}{3}$. (Используя свойство $arcsin(-x) = -arcsin(x)$, получаем $-arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$).

- $arccos(\frac{1}{2})$ – угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

- $arccos(0)$ – угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен $0$. Этот угол равен $\frac{\pi}{2}$.

- $arcctg(-1)$ – угол из $(0, \pi)$, котангенс которого равен $-1$. Этот угол равен $\frac{3\pi}{4}$. (Используя свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$, получаем $\pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$).

Подставим значения в выражение:

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4}$

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются:

$0 - \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}$.