Страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Найдите значение выражения:

1) $ \arcsin 0.5 + \arccos (-1) - \arccos 0 - \arctan 1 $

2) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - \text{arcctg}1 $

3) $ \arctan \sqrt{3} + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} - \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \arcsin 1 $

4) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos \frac{1}{2} - \arccos 0 - \text{arcctg}(-1) $

1) Чтобы найти значение выражения $arcsin(0.5) + arccos(-1) - arccos(0) - arctg(1)$, определим значение каждого члена выражения на основе определения обратных тригонометрических функций.

- $arcsin(0.5)$ – это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $0.5$. Следовательно, $arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$.

- $arccos(-1)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-1$. Следовательно, $arccos(-1) = \pi$.

- $arccos(0)$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $0$. Следовательно, $arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

- $arctg(1)$ – это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $1$. Следовательно, $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{\pi}{6} + \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $12$:

$\frac{2\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{(2 + 12 - 6 - 3)\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{12}$.

2) Рассмотрим выражение $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) - arcctg(1)$. Найдем значение каждого слагаемого.

- $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ – это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

- $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{3\pi}{4}$. (Используя свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем $\pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$).

- $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ – это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.

- $arcctg(1)$ – это угол из промежутка $(0, \pi)$, котангенс которого равен $1$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

Подставим значения в выражение:

$\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}$

Сгруппируем слагаемые и вычислим:

$(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) + (\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = (\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

3) Вычислим значение выражения $arctg(\sqrt{3}) + arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) - arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - arcsin(1)$.

- $arctg(\sqrt{3})$ – угол из $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

- $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ – угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

- $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ – угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{5\pi}{6}$. (Используя свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем $\pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$).

- $arcsin(1)$ – угол из $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $1$. Этот угол равен $\frac{\pi}{2}$.

Подставим значения:

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $12$:

$\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = \frac{(4 + 3 - 10 - 6)\pi}{12} = \frac{(7 - 16)\pi}{12} = -\frac{9\pi}{12} = -\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}$.

4) Найдем значение выражения $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arccos(\frac{1}{2}) - arccos(0) - arcctg(-1)$.

- $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ – угол из $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $-\frac{\pi}{3}$. (Используя свойство $arcsin(-x) = -arcsin(x)$, получаем $-arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$).

- $arccos(\frac{1}{2})$ – угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

- $arccos(0)$ – угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен $0$. Этот угол равен $\frac{\pi}{2}$.

- $arcctg(-1)$ – угол из $(0, \pi)$, котангенс которого равен $-1$. Этот угол равен $\frac{3\pi}{4}$. (Используя свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$, получаем $\pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$).

Подставим значения в выражение:

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4}$

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются:

$0 - \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}$.

2. Найдите значение выражения:

1) $\cos \left(\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$;

2) $\operatorname{ctg}\left(\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$;

3) $\operatorname{tg}\left(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

4) $\arccos \left(\sin \frac{27 \pi}{7}\right)$;

5) $\arcsin \left(\sin \frac{10 \pi}{3}\right)$;

6) $\arcsin(\sin 7)$;

7) $\arcsin(\cos 8)$;

8) $\arccos(\cos 12)$.

1) Найдем значение выражения $cos(arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}))$.

Пусть $α = arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. По определению арксинуса, это такой угол $α$, что $sin(α) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $α$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Единственный угол, удовлетворяющий этим условиям, это $α = -\frac{\pi}{3}$.

Тогда исходное выражение превращается в $cos(-\frac{\pi}{3})$.

Так как функция косинуса четная, $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos(-\frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Найдем значение выражения $ctg(arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}))$.

Пусть $α = arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. По определению арккосинуса, это такой угол $α$, что $cos(α) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $α$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Единственный угол, удовлетворяющий этим условиям, это $α = \frac{3\pi}{4}$.

Тогда исходное выражение превращается в $ctg(\frac{3\pi}{4})$.

Значение котангенса для этого угла: $ctg(\frac{3\pi}{4}) = \frac{cos(\frac{3\pi}{4})}{sin(\frac{3\pi}{4})} = \frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = -1$.

Ответ: $-1$

3) Найдем значение выражения $tg(arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}))$.

Пусть $α = arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. По определению арккосинуса, это такой угол $α$, что $cos(α) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $α$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Единственный угол, удовлетворяющий этим условиям, это $α = \frac{\pi}{6}$.

Тогда исходное выражение превращается в $tg(\frac{\pi}{6})$.

Значение тангенса для этого угла: $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

4) Найдем значение выражения $arccos(sin(\frac{27\pi}{7}))$.

Область значений арккосинуса — отрезок $[0, \pi]$. Сначала упростим аргумент. Используем периодичность синуса и формулы приведения.

$\frac{27\pi}{7} = \frac{28\pi - \pi}{7} = 4\pi - \frac{\pi}{7}$.

$sin(\frac{27\pi}{7}) = sin(4\pi - \frac{\pi}{7}) = sin(-\frac{\pi}{7}) = -sin(\frac{\pi}{7})$.

Выражение принимает вид $arccos(-sin(\frac{\pi}{7}))$.

Используем формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Получаем $\pi - arccos(sin(\frac{\pi}{7}))$.

Теперь используем формулу приведения для обратных функций $arccos(x) = \frac{\pi}{2} - arcsin(x)$. Получаем $\pi - (\frac{\pi}{2} - arcsin(sin(\frac{\pi}{7})))$.

Так как $\frac{\pi}{7}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.

Подставляем и вычисляем: $\pi - (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \pi - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{7} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{7} = \frac{7\pi + 2\pi}{14} = \frac{9\pi}{14}$.

Ответ: $\frac{9\pi}{14}$

5) Найдем значение выражения $arcsin(sin(\frac{10\pi}{3}))$.

Область значений арксинуса — отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Угол $\frac{10\pi}{3}$ не входит в этот отрезок.

Найдем угол $α$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $sin(\frac{10\pi}{3})$.

$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$.

$sin(\frac{10\pi}{3}) = sin(3\pi + \frac{\pi}{3}) = sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3})$.

Теперь ищем $α \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ такой, что $sin(α) = -sin(\frac{\pi}{3})$.

Известно, что $sin(-x) = -sin(x)$. Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $arcsin(sin(\frac{10\pi}{3})) = arcsin(sin(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

6) Найдем значение выражения $arcsin(sin(7))$.

Область значений арксинуса — отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем отрезок примерно $[-1.57, 1.57]$. Число $7$ не принадлежит этому отрезку.

Нам нужно найти такой угол $α \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(α) = sin(7)$.

Известно, что $sin(x) = sin(x - 2k\pi)$ для любого целого $k$. Найдем такое целое $k$, чтобы $7 - 2k\pi$ попало в нужный отрезок.

$2\pi \approx 6.28$. При $k=1$, получаем $7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72$. Этот угол принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$.

Таким образом, $sin(7) = sin(7 - 2\pi)$, и так как $7-2\pi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(7)) = 7-2\pi$.

Ответ: $7 - 2\pi$

7) Найдем значение выражения $arcsin(cos(8))$.

Используем формулу приведения $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Выражение принимает вид $arcsin(sin(\frac{\pi}{2} - 8))$.

Область значений арксинуса — отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Проверим, принадлежит ли ему аргумент $\frac{\pi}{2} - 8$.

$\frac{\pi}{2} - 8 \approx 1.57 - 8 = -6.43$. Это значение не входит в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Найдем такой угол $α \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $sin(α) = sin(\frac{\pi}{2} - 8)$.

Используем свойство периодичности $sin(x) = sin(x + 2k\pi)$. Найдем целое $k$, чтобы $α = \frac{\pi}{2} - 8 + 2k\pi$ попало в нужный отрезок.

При $k=1$: $α = \frac{\pi}{2} - 8 + 2\pi = \frac{5\pi}{2} - 8$.

Проверим значение: $\frac{5\pi}{2} - 8 \approx \frac{5 \cdot 3.14}{2} - 8 = 7.85 - 8 = -0.15$.

Значение $-0.15$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$.

Следовательно, $arcsin(cos(8)) = \frac{5\pi}{2} - 8$.

Ответ: $\frac{5\pi}{2} - 8$

8) Найдем значение выражения $arccos(cos(12))$.

Область значений арккосинуса — отрезок $[0, \pi]$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем отрезок $[0, 3.14]$. Число $12$ не принадлежит этому отрезку.

Нам нужно найти такой угол $α \in [0, \pi]$, для которого $cos(α) = cos(12)$.

Известно, что $cos(x) = cos(-x)$ и $cos(x) = cos(x + 2k\pi)$. Объединяя, получаем $cos(x) = cos(\pm x + 2k\pi)$.

Проверим вариант $α = -12 + 2k\pi$. Найдем такое целое $k$, чтобы $α$ попало в отрезок $[0, \pi]$.

$4\pi \approx 4 \cdot 3.1416 = 12.5664$. При $k=2$, получаем $α = -12 + 4\pi$.

Значение $4\pi - 12 \approx 12.5664 - 12 = 0.5664$. Это значение принадлежит отрезку $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$.

Таким образом, $cos(12) = cos(-12) = cos(-12 + 4\pi)$, и так как $4\pi - 12 \in [0, \pi]$, то $arccos(cos(12)) = 4\pi - 12$.

Ответ: $4\pi - 12$

3. Найдите значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = 3\sqrt{2x} - \frac{5}{x} + 3x - 2$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = (3x + 4)^2 + \frac{6}{x + 1}$, $x_0 = -2$;

3) $f(x) = \sin(3x - 2\pi) + 3\pi$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

4) $f(x) = \cos(2x - \pi) - 2\pi$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

1) Дана функция $f(x) = 3\sqrt{2x} - \frac{5}{x} + 3x - 2$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения значения производной $f'(x)$ в точке $x_0$, сначала найдем саму производную. Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования, используя степенные представления: $f(x) = 3(2x)^{1/2} - 5x^{-1} + 3x - 2$.

Теперь найдем производную, используя правила дифференцирования:

• Производная сложной функции (для $3\sqrt{2x}$): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.
• Производная суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.
• Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$.

$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot (2x)' - 5 \cdot (-1)x^{-2} + 3 - 0$

$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 + 5x^{-2} + 3$

$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{2x}} + \frac{5}{x^2} + 3$

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = \frac{3}{\sqrt{2 \cdot 1}} + \frac{5}{1^2} + 3 = \frac{3}{\sqrt{2}} + 5 + 3 = 8 + \frac{3}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$f'(1) = 8 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $8 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = (3x + 4)^2 + \frac{6}{x + 1}$ и точка $x_0 = -2$.

Найдем производную функции $f(x)$.

Производная первого слагаемого $(3x + 4)^2$ находится по правилу дифференцирования сложной функции: $((3x + 4)^2)' = 2(3x + 4)^1 \cdot (3x + 4)' = 2(3x + 4) \cdot 3 = 6(3x + 4) = 18x + 24$.

Производная второго слагаемого $\frac{6}{x + 1} = 6(x+1)^{-1}$ находится по правилу дифференцирования степенной функции: $(\frac{6}{x + 1})' = (6(x+1)^{-1})' = 6 \cdot (-1)(x+1)^{-2} \cdot (x+1)' = -6(x+1)^{-2} = -\frac{6}{(x+1)^2}$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = 18x + 24 - \frac{6}{(x+1)^2}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 18(-2) + 24 - \frac{6}{(-2 + 1)^2} = -36 + 24 - \frac{6}{(-1)^2} = -12 - \frac{6}{1} = -12 - 6 = -18$.

Ответ: -18.

3) Дана функция $f(x) = \sin(3x - 2\pi) + 3\pi$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции $f(x)$.

Первое слагаемое $\sin(3x - 2\pi)$ является сложной функцией. Его производная: $(\sin(3x - 2\pi))' = \cos(3x - 2\pi) \cdot (3x - 2\pi)' = \cos(3x - 2\pi) \cdot 3 = 3\cos(3x - 2\pi)$.

Второе слагаемое $3\pi$ является константой, поэтому его производная равна нулю.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = 3\cos(3x - 2\pi)$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3} - 2\pi) = 3\cos(\pi - 2\pi) = 3\cos(-\pi)$.

Поскольку косинус — четная функция ($\cos(-a) = \cos(a)$), и $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(\pi) = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: -3.

4) Дана функция $f(x) = \cos(2x - \pi) - 2\pi$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдем производную функции $f(x)$.

Первое слагаемое $\cos(2x - \pi)$ является сложной функцией. Его производная: $(\cos(2x - \pi))' = -\sin(2x - \pi) \cdot (2x - \pi)' = -\sin(2x - \pi) \cdot 2 = -2\sin(2x - \pi)$.

Второе слагаемое $-2\pi$ является константой, его производная равна нулю.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = -2\sin(2x - \pi)$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi) = -2\sin(\frac{\pi}{2} - \pi) = -2\sin(-\frac{\pi}{2})$.

Поскольку синус — нечетная функция ($\sin(-a) = -\sin(a)$), и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{2})) = -2 \cdot (-1) = 2$.

Ответ: 2.

4. Найдите значение углового коэффициента касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $y = 1 - \frac{2x + 1}{x - 1}$, $x_0 = 2$;

2) $y = 3 + \frac{x}{x + 1} + \sqrt{3 - x}$, $x_0 = 2$.

1) Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

Дана функция $y = 1 - \frac{2x+1}{x-1}$ и точка $x_0 = 2$.

Сначала найдем производную функции $f'(x)$.

$f'(x) = \left(1 - \frac{2x+1}{x-1}\right)'$.

Производная константы равна нулю, а для дроби используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = 0 - \frac{(2x+1)'(x-1) - (2x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = -\frac{2(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2}$.

$f'(x) = -\frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = -\frac{-3}{(x-1)^2} = \frac{3}{(x-1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$, чтобы найти угловой коэффициент $k$.

$k = f'(2) = \frac{3}{(2-1)^2} = \frac{3}{1^2} = 3$.

Ответ: 3.

2) Дана функция $y = 3 + \frac{x}{x+1} + \sqrt{3-x}$ и точка $x_0 = 2$.

Найдем производную функции $f'(x)$. Производная является суммой производных каждого слагаемого:

$f'(x) = (3)' + \left(\frac{x}{x+1}\right)' + (\sqrt{3-x})'$.

Вычислим производную каждого слагаемого по отдельности.

$(3)' = 0$.

Для второго слагаемого используем правило частного:

$\left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

Для третьего слагаемого $(\sqrt{3-x})'$ используем правило дифференцирования сложной функции, представив корень как степень $1/2$:

$(\sqrt{3-x})' = ((3-x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3-x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (3-x)' = \frac{1}{2}(3-x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

Соберем все части производной вместе:

$f'(x) = 0 + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

Теперь вычислим значение углового коэффициента $k$ в точке $x_0 = 2$.

$k = f'(2) = \frac{1}{(2+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-2}} = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$k = \frac{2}{18} - \frac{9}{18} = -\frac{7}{18}$.

Ответ: $-\frac{7}{18}$.

5. Найдите значение $f''(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = 4x + \sin3x$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

2) $f(x) = 2x + \cos4x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

3) $f(x) = x + \sin^2 3x$, $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

1) Для функции $f(x) = 4x + \sin(3x)$ найдем ее производную. Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = (4x)' + (\sin(3x))'$. Производная от $4x$ равна $4$. Производную от $\sin(3x)$ находим как производную сложной функции: $(\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$. Таким образом, получаем производную $f'(x) = 4 + 3\cos(3x)$. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$: $f'(\frac{\pi}{2}) = 4 + 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = 4 + 3\cos(\frac{3\pi}{2})$. Так как $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, то $f'(\frac{\pi}{2}) = 4 + 3 \cdot 0 = 4$. Ответ: 4

2) Для функции $f(x) = 2x + \cos(4x)$ найдем ее производную. $f'(x) = (2x)' + (\cos(4x))'$. Производная от $2x$ равна $2$. Производная от $\cos(4x)$ является производной сложной функции: $(\cos(4x))' = -\sin(4x) \cdot (4x)' = -4\sin(4x)$. Следовательно, $f'(x) = 2 - 4\sin(4x)$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$: $f'(\frac{\pi}{4}) = 2 - 4\sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2 - 4\sin(\pi)$. Так как $\sin(\pi) = 0$, то $f'(\frac{\pi}{4}) = 2 - 4 \cdot 0 = 2$. Ответ: 2

3) Для функции $f(x) = x + \sin^2(3x)$ найдем ее производную. $f'(x) = (x)' + (\sin^2(3x))'$. Производная от $x$ равна $1$. Для нахождения производной $(\sin^2(3x))'$ используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = \sin(3x)$, тогда ищем производную от $u^2$, которая равна $2u \cdot u'$. Найдем $u' = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$. Тогда $(\sin^2(3x))' = 2\sin(3x) \cdot 3\cos(3x) = 6\sin(3x)\cos(3x)$. Это выражение можно упростить с помощью формулы двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получив $3\sin(6x)$. Таким образом, $f'(x) = 1 + 3\sin(6x)$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$: $f'(-\frac{\pi}{2}) = 1 + 3\sin(6 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 1 + 3\sin(-3\pi)$. Так как $\sin(-3\pi) = 0$, то $f'(-\frac{\pi}{2}) = 1 + 3 \cdot 0 = 1$. Ответ: 1

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на заданном промежутке:

1) $y = x^4 - 8x^2 - 9$, $[-1; 3];$

2) $y = 2 + 3x^5 - 5x^3$, $[2; 3];$

3) $y = \sqrt{x} - x$, $[0; 4];$

4) $y = \frac{1}{x} + x$, $[0.5; 4].$

1) Дана функция $y = x^4 - 8x^2 - 9$ на промежутке $[-1; 3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем ее производную:

$y' = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x-2)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Проверим, какие из этих точек принадлежат заданному промежутку $[-1; 3]$.

Точка $x = 0$ принадлежит промежутку $[-1; 3]$.

Точка $x = 2$ принадлежит промежутку $[-1; 3]$.

Точка $x = -2$ не принадлежит промежутку $[-1; 3]$.

Вычислим значения функции в найденных критических точках, принадлежащих промежутку, и на концах этого промежутка:

$y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

$y(0) = 0^4 - 8(0)^2 - 9 = -9$.

$y(2) = 2^4 - 8(2)^2 - 9 = 16 - 8 \cdot 4 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$.

$y(3) = 3^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 8 \cdot 9 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$.

Среди полученных значений $\{-16; -9; -25; 0\}$ выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение равно $0$, наименьшее значение равно $-25$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-25$.

2) Дана функция $y = 2 + 3x^5 - 5x^3$ на промежутке $[2; 3]$.

Найдем производную функции:

$y' = (2 + 3x^5 - 5x^3)' = 15x^4 - 15x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$15x^4 - 15x^2 = 0$

$15x^2(x^2 - 1) = 0$

$15x^2(x-1)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Ни одна из этих точек не попадает в заданный промежуток $[2; 3]$. Следовательно, функция на этом промежутке монотонна, и свои наибольшее и наименьшее значения принимает на его концах.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

$y(2) = 2 + 3(2)^5 - 5(2)^3 = 2 + 3 \cdot 32 - 5 \cdot 8 = 2 + 96 - 40 = 58$.

$y(3) = 2 + 3(3)^5 - 5(3)^3 = 2 + 3 \cdot 243 - 5 \cdot 27 = 2 + 729 - 135 = 596$.

Сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение $596$, наименьшее значение $58$.

3) Дана функция $y = \sqrt{x} - x$ на промежутке $[0; 4]$.

Найдем производную функции:

$y' = (\sqrt{x} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$ (при условии $x > 0$):

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{4} = 0,25$.

Критическая точка $x = 0,25$ принадлежит промежутку $[0; 4]$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка $[0; 4]$:

$y(0) = \sqrt{0} - 0 = 0$.

$y(0,25) = \sqrt{0,25} - 0,25 = 0,5 - 0,25 = 0,25$.

$y(4) = \sqrt{4} - 4 = 2 - 4 = -2$.

Среди значений $\{0; 0,25; -2\}$ наибольшее равно $0,25$, а наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $0,25$, наименьшее значение $-2$.

4) Дана функция $y = \frac{1}{x} + x$ на промежутке $[0,5; 4]$.

Найдем производную функции:

$y' = (\frac{1}{x} + x)' = -\frac{1}{x^2} + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-\frac{1}{x^2} + 1 = 0$

$1 = \frac{1}{x^2}$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Заданному промежутку $[0,5; 4]$ принадлежит только точка $x = 1$.

Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах промежутка:

$y(0,5) = \frac{1}{0,5} + 0,5 = 2 + 0,5 = 2,5$.

$y(1) = \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 = 2$.

$y(4) = \frac{1}{4} + 4 = 0,25 + 4 = 4,25$.

Среди значений $\{2,5; 2; 4,25\}$ наибольшее равно $4,25$, а наименьшее равно $2$.

Ответ: наибольшее значение $4,25$, наименьшее значение $2$.