Страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

47. Ученик начальной школы в день, посещая столовую, покупает кашу, 1 стакан чая или компота и 1 булочку. Цена одной порции каши — 60 тг, булочки — 45 тг, сладкого чая — 35 тг, а компота — 50 тг. Проезд школьников в городском транспорте — 40 тг.

1) Какую сумму должны дать родители школьнику на один день учебы в школе?

2) Школа работает по пятидневке. Какие расходы родителей за неделю, если у них два ребенка и они три дня покупают чай, а два дня — компот?

1) Для начала рассчитаем расходы школьника на один день. Расходы состоят из проезда на транспорте и обеда в столовой.

Проезд в одну сторону стоит 40 тг. Ученику нужно доехать до школы и обратно, поэтому расходы на транспорт в день составляют: $40 \text{ тг} \times 2 = 80 \text{ тг}$.

Обед состоит из каши (60 тг), булочки (45 тг) и одного напитка на выбор: чай (35 тг) или компот (50 тг). Рассмотрим оба варианта:

Вариант 1: С чаем.

Стоимость обеда: $60 \text{ (каша)} + 45 \text{ (булочка)} + 35 \text{ (чай)} = 140 \text{ тг}$.

Общая сумма на день: $80 \text{ (проезд)} + 140 \text{ (обед)} = 220 \text{ тг}$.

Вариант 2: С компотом.

Стоимость обеда: $60 \text{ (каша)} + 45 \text{ (булочка)} + 50 \text{ (компот)} = 155 \text{ тг}$.

Общая сумма на день: $80 \text{ (проезд)} + 155 \text{ (обед)} = 235 \text{ тг}$.

Ответ: Родители должны дать школьнику 220 тг, если он будет покупать чай, или 235 тг, если он будет покупать компот.

2) Школа работает 5 дней в неделю. В семье двое детей. Рассчитаем расходы на одного ребенка за неделю, а затем умножим на два.

Сначала определим стоимость одного учебного дня в зависимости от напитка, включая проезд (как мы выяснили в пункте 1):

Стоимость дня с чаем: $220 \text{ тг}$.

Стоимость дня с компотом: $235 \text{ тг}$.

По условию, ребенок 3 дня покупает чай и 2 дня покупает компот. Рассчитаем расходы на одного ребенка за неделю:

Расходы за 3 дня с чаем: $3 \times 220 \text{ тг} = 660 \text{ тг}$.

Расходы за 2 дня с компотом: $2 \times 235 \text{ тг} = 470 \text{ тг}$.

Общие расходы на одного ребенка за неделю: $660 \text{ тг} + 470 \text{ тг} = 1130 \text{ тг}$.

Так как в семье двое детей, общие расходы родителей за неделю составят:

$1130 \text{ тг/ребенок} \times 2 \text{ ребенка} = 2260 \text{ тг}$.

Ответ: Расходы родителей за неделю составят 2260 тг.

48. 1) В коробке находятся 32 шарика красного, синего, зеленого цветов. Красных шариков в 18 раз больше, чем зеленых. Сколько шаров синего цвета находится в коробке?

2) В коробке лежат 14 синих и 12 красных шариков. Сколько шариков надо вынуть, не глядя в коробку, чтобы среди них обязательно оказалось 6 шаров одного цвета.

1)

Пусть $З$ — количество зеленых шариков, $К$ — количество красных шариков, а $С$ — количество синих шариков.

По условию задачи, общее количество шариков в коробке равно 32. Это можно записать в виде уравнения:

$К + С + З = 32$

Также из условия известно, что красных шариков в 18 раз больше, чем зеленых:

$К = 18 \times З$

Теперь подставим выражение для $К$ в первое уравнение:

$(18 \times З) + С + З = 32$

Упростим полученное уравнение:

$19 \times З + С = 32$

Поскольку количество шариков ($З$ и $С$) может быть только целым неотрицательным числом, а условие "красных шариков в 18 раз больше, чем зеленых" подразумевает наличие зеленых шариков, то $З$ должно быть целым числом, большим или равным 1.

Проверим возможные значения для $З$:

1. Если $З = 1$:

$19 \times 1 + С = 32$

$19 + С = 32$

$С = 32 - 19 = 13$

В этом случае количество красных шариков будет $К = 18 \times 1 = 18$. Проверим общее количество: $18 \text{ (красных)} + 13 \text{ (синих)} + 1 \text{ (зеленый)} = 32$. Это решение удовлетворяет всем условиям задачи.

2. Если $З = 2$:

$19 \times 2 + С = 32$

$38 + С = 32$

$С = -6$. Количество шариков не может быть отрицательным, поэтому $З$ не может быть равно 2 или больше.

Следовательно, единственно возможное решение — это когда в коробке 1 зеленый шарик, 18 красных и 13 синих.

Ответ: 13

2)

Для решения этой задачи нужно применить принцип Дирихле, рассмотрев самый неблагоприятный сценарий. Нам нужно гарантировать, что среди вынутых шариков будет 6 шаров одного цвета.

Самый неблагоприятный случай — это когда мы вынимаем шарики так, чтобы как можно дольше оттягивать выполнение этого условия. То есть, мы будем стараться вынимать шарики разных цветов, не доводя количество шаров одного цвета до 6.

В коробке есть шары двух цветов: синие и красные.

В худшем случае мы сначала вынем 5 синих шаров (еще не 6).

Затем мы вынем 5 красных шаров (тоже еще не 6).

На данный момент мы вынули:

$5 \text{ синих} + 5 \text{ красных} = 10 \text{ шаров}$

В руке у нас 10 шаров, но среди них нет 6 шаров одного цвета. Однако следующий, 11-й шар, который мы вынем, может быть только синим или красным.

- Если 11-й шар окажется синим, то у нас станет $5 + 1 = 6$ синих шаров.

- Если 11-й шар окажется красным, то у нас станет $5 + 1 = 6$ красных шаров.

В любом из этих случаев, как только мы вынем 11-й шар, у нас гарантированно будет 6 шаров одного цвета.

Ответ: 11

49. Используя таблицу 3, задайте функцию формулой и найдите ее значение при $z = 10$.

Таблица 3

$z$: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

$y$: 1, -2, -3, -2, 1, 6, 13

Задайте функцию формулой

Для того чтобы определить вид функции по табличным данным, проанализируем, как изменяется значение y при последовательном увеличении аргумента z на единицу.

1. Найдем первые разности, то есть разности между соседними значениями y:

$y(-1) - y(-2) = -2 - 1 = -3$

$y(0) - y(-1) = -3 - (-2) = -1$

$y(1) - y(0) = -2 - (-3) = 1$

$y(2) - y(1) = 1 - (-2) = 3$

$y(3) - y(2) = 6 - 1 = 5$

$y(4) - y(3) = 13 - 6 = 7$

Так как первые разности не являются постоянной величиной, функция не является линейной.

2. Найдем вторые разности, то есть разности между соседними первыми разностями:

$-1 - (-3) = 2$

$1 - (-1) = 2$

$3 - 1 = 2$

$5 - 3 = 2$

$7 - 5 = 2$

Вторые разности постоянны и равны 2. Это свойство характерно для квадратичной функции вида $y = az^2 + bz + c$. Для такой функции вторая разность равна $2a$.

3. Найдем коэффициенты a, b и c.

Из того, что вторая разность равна 2, следует: $2a = 2$, откуда $a = 1$.

Функция принимает вид $y = z^2 + bz + c$.

Для нахождения c подставим в формулу координаты точки, где $z=0$. Из таблицы это точка $(0; -3)$:

$-3 = (0)^2 + b \cdot 0 + c \implies c = -3$.

Теперь функция имеет вид $y = z^2 + bz - 3$.

Для нахождения b подставим координаты любой другой точки, например, $(1; -2)$:

$-2 = (1)^2 + b \cdot 1 - 3$

$-2 = 1 + b - 3$

$-2 = b - 2 \implies b = 0$.

Таким образом, мы получили искомую формулу. Проверим ее, подставив еще одну точку, например $(2; 1)$:

$y = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Значение совпадает с табличным.

Ответ: $y = z^2 - 3$.

Найдите ее значение при z = 10

Чтобы найти значение функции при $z = 10$, подставим это значение в выведенную формулу $y = z^2 - 3$:

$y = (10)^2 - 3 = 100 - 3 = 97$.

Ответ: 97.

50. В сосуд формы прямоугольного параллелепипеда налили $1700 \text{ см}^3$ воды. Уровень воды в сосуде при этом достиг высоты $10 \text{ см}$. В жидкость полностью погрузили деталь, тогда уровень воды в сосуде поднялся на $5 \text{ см}$.

1) Чему равен объем этой детали?

2. Если уровень воды в этом сосуде равен $15 \text{ см}$, то каков объем воды в сосуде?

3. Если объем детали, опущенной в этот сосуд, равен $1700 \text{ см}^3$, то на сколько сантиметров поднимется уровень воды в этом сосуде?

Для решения всех пунктов задачи сначала найдем площадь основания $S$ сосуда. Объем жидкости в сосуде формы прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту уровня жидкости.

$V_{воды} = S \cdot h_{воды}$

Из условия известно, что объем воды $V_{воды} = 1700$ см³, а высота уровня воды $h_{воды} = 10$ см. Выразим и вычислим площадь основания:

$S = \frac{V_{воды}}{h_{воды}} = \frac{1700 \text{ см³}}{10 \text{ см}} = 170 \text{ см²}$

Теперь, зная площадь основания сосуда, мы можем ответить на все вопросы.

1) Чему равен объем этой детали?

Когда деталь полностью погружают в жидкость, она вытесняет объем жидкости, равный собственному объему. Этот вытесненный объем представляет собой слой воды высотой, равной подъему уровня воды $\Delta h$, и с площадью основания $S$.

$V_{детали} = V_{вытесненной\_воды} = S \cdot \Delta h$

По условию, уровень воды поднялся на $\Delta h = 5$ см. Используя найденную площадь основания $S = 170$ см², рассчитаем объем детали:

$V_{детали} = 170 \text{ см²} \cdot 5 \text{ см} = 850 \text{ см³}$

Ответ: 850 см³.

2. Если уровень воды в этом сосуде равен 15 см, то каков объем воды в сосуде?

Объем воды в сосуде при известном уровне $h = 15$ см и площади основания $S = 170$ см² вычисляется по той же формуле:

$V_{воды} = S \cdot h$

$V_{воды} = 170 \text{ см²} \cdot 15 \text{ см} = 2550 \text{ см³}$

Ответ: 2550 см³.

3. Если объем детали, опущенной в этот сосуд, равен 1700 см³, то на сколько сантиметров поднимется уровень воды в этом сосуде?

Объем вытесненной воды равен объему погруженной детали. Зная объем детали $V_{детали} = 1700$ см³ и площадь основания сосуда $S = 170$ см², можно найти, на сколько поднимется уровень воды $\Delta h$.

$V_{детали} = S \cdot \Delta h$

Выразим из формулы $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{V_{детали}}{S}$

Подставим значения:

$\Delta h = \frac{1700 \text{ см³}}{170 \text{ см²}} = 10 \text{ см}$

Ответ: на 10 см.