Страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Найдите производную функции $f'(x)$:

1) $f(x) = \sin^2 2x + \cos^2 2x - \sqrt{2x}$;

2) $f(x) = \sin^3 2x + \cos 3x - \frac{2}{x}$;

3) $f(x) = \operatorname{tg}^2 2x + \operatorname{ctg} 3x + \sqrt{\pi}$;

4) $f(x) = \operatorname{arctg} 2x + \operatorname{arccos} x + \sqrt{x}$;

5) $f(x) = \frac{2x - 1}{3x + 2} + 3x - 2$;

6) $f(x) = x \sin 2x + \sqrt{2 - 3x}$.

1) Дана функция $f(x) = \sin^2(2x) + \cos^2(2x) - \sqrt{2x}$.

Для нахождения производной сначала упростим функцию. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. В данном случае, положив $\alpha = 2x$, получаем $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = 1 - \sqrt{2x}$.

Теперь найдем производную этой упрощенной функции. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных. Производная константы равна нулю.$f'(x) = (1 - \sqrt{2x})' = (1)' - (\sqrt{2x})'$.

Производную от $\sqrt{2x}$ найдем как производную сложной функции, представив ее в виде $(2x)^{1/2}$.

$(\sqrt{2x})' = ((2x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x)^{1/2 - 1} \cdot (2x)' = \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2 = (2x)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Следовательно, $f'(x) = 0 - \frac{1}{\sqrt{2x}} = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin^3(2x) + \cos(3x) - \frac{2}{x}$.

Находим производную как сумму производных каждого слагаемого:

$f'(x) = (\sin^3(2x))' + (\cos(3x))' - (\frac{2}{x})'$.

1. Производная первого слагаемого $(\sin^3(2x))'$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:$((\sin(2x))^3)' = 3\sin^2(2x) \cdot (\sin(2x))' = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = 3\sin^2(2x)\cos(2x) \cdot 2 = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$.

2. Производная второго слагаемого $(\cos(3x))'$ также является производной сложной функции:$(\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

3. Производная третьего слагаемого $(\frac{2}{x})'$ находится по правилу степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:$(\frac{2}{x})' = (2x^{-1})' = 2 \cdot (-1)x^{-2} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Собираем все вместе:$f'(x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) - (-\frac{2}{x^2}) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) + \frac{2}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) + \frac{2}{x^2}$.

3) Дана функция $f(x) = \text{tg}^2(2x) + \text{ctg}(3x) + \sqrt{\pi}$.

Находим производную как сумму производных. Отметим, что $\sqrt{\pi}$ — это константа, и ее производная равна нулю.

$f'(x) = (\text{tg}^2(2x))' + (\text{ctg}(3x))' + (\sqrt{\pi})'$.

1. Производная первого слагаемого $(\text{tg}^2(2x))'$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:$((\text{tg}(2x))^2)' = 2\text{tg}(2x) \cdot (\text{tg}(2x))' = 2\text{tg}(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = 2\text{tg}(2x) \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{4\text{tg}(2x)}{\cos^2(2x)}$.

2. Производная второго слагаемого $(\text{ctg}(3x))'$ также является производной сложной функции:$(\text{ctg}(3x))' = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot (3x)' = -\frac{3}{\sin^2(3x)}$.

3. Производная константы: $(\sqrt{\pi})' = 0$.

Собираем все вместе:$f'(x) = \frac{4\text{tg}(2x)}{\cos^2(2x)} - \frac{3}{\sin^2(3x)} + 0$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4\text{tg}(2x)}{\cos^2(2x)} - \frac{3}{\sin^2(3x)}$.

4) Дана функция $f(x) = \text{arctg}(2x) + \arccos(x) + \sqrt{x}$.

Находим производную как сумму производных каждого слагаемого:

$f'(x) = (\text{arctg}(2x))' + (\arccos(x))' + (\sqrt{x})'$.

1. Производная первого слагаемого $(\text{arctg}(2x))'$ — производная сложной функции:$(\text{arctg}(2x))' = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{2}{1+4x^2}$.

2. Производная второго слагаемого $(\arccos(x))'$ — табличная производная:$(\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

3. Производная третьего слагаемого $(\sqrt{x})'$ — табличная производная:$(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Собираем все вместе:$f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

5) Дана функция $f(x) = \frac{2x-1}{3x+2} + 3x - 2$.

Находим производную как сумму производных:

$f'(x) = (\frac{2x-1}{3x+2})' + (3x)' - (2)'$.

1. Первое слагаемое — дробь, находим ее производную по правилу производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$(\frac{2x-1}{3x+2})' = \frac{(2x-1)'(3x+2) - (2x-1)(3x+2)'}{(3x+2)^2} = \frac{2(3x+2) - (2x-1) \cdot 3}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4 - (6x-3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4 - 6x+3}{(3x+2)^2} = \frac{7}{(3x+2)^2}$.

2. Производная второго слагаемого: $(3x)' = 3$.

3. Производная константы: $(2)' = 0$.

Собираем все вместе:$f'(x) = \frac{7}{(3x+2)^2} + 3 - 0$.

Ответ: $f'(x) = \frac{7}{(3x+2)^2} + 3$.

6) Дана функция $f(x) = x\sin(2x) + \sqrt{2-3x}$.

Находим производную как сумму производных:

$f'(x) = (x\sin(2x))' + (\sqrt{2-3x})'$.

1. Первое слагаемое — произведение, находим его производную по правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$(x\sin(2x))' = (x)'\sin(2x) + x(\sin(2x))' = 1 \cdot \sin(2x) + x(\cos(2x) \cdot (2x)') = \sin(2x) + x \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \sin(2x) + 2x\cos(2x)$.

2. Второе слагаемое — корень, находим его производную по правилу для сложной функции:

$(\sqrt{2-3x})' = ((2-3x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2-3x)^{-1/2} \cdot (2-3x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-3x}} \cdot (-3) = -\frac{3}{2\sqrt{2-3x}}$.

Собираем все вместе:$f'(x) = \sin(2x) + 2x\cos(2x) - \frac{3}{2\sqrt{2-3x}}$.

Ответ: $f'(x) = \sin(2x) + 2x\cos(2x) - \frac{3}{2\sqrt{2-3x}}$.

8. Найдите значение второй производной функции $f(x) = 3x + \sqrt{1 + x^2}$ при $x = 2$.

Для того чтобы найти значение второй производной функции $f(x) = 3x + \sqrt{1 + x^2}$ в точке $x = 2$, необходимо последовательно найти ее первую и вторую производные.

1. Нахождение первой производной $f'(x)$

Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) для слагаемого $\sqrt{1 + x^2}$.

$f'(x) = (3x + \sqrt{1 + x^2})' = (3x)' + (\sqrt{1 + x^2})'$

Производная первого слагаемого: $(3x)' = 3$.

Производная второго слагаемого: $(\sqrt{1 + x^2})' = ((1 + x^2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{1/2 - 1} \cdot (1 + x^2)' = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

Таким образом, первая производная равна:$f'(x) = 3 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

2. Нахождение второй производной $f''(x)$

Теперь дифференцируем полученную первую производную. Производная константы 3 равна нулю. Для дифференцирования дроби $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = x$ и $v = \sqrt{1 + x^2}$.

$u' = (x)' = 1$.

$v' = (\sqrt{1 + x^2})' = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

$f''(x) = (3)' + \left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)' = 0 + \frac{(x)' \cdot \sqrt{1 + x^2} - x \cdot (\sqrt{1 + x^2})'}{(\sqrt{1 + x^2})^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{1 + x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2}$.

Упростим числитель, приведя его к общему знаменателю $\sqrt{1 + x^2}$:$f''(x) = \frac{\frac{(\sqrt{1 + x^2})^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} = \frac{\frac{1 + x^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} = \frac{1}{(1 + x^2)\sqrt{1 + x^2}}$.

Это выражение можно записать в виде степени: $f''(x) = (1 + x^2)^{-3/2}$.

3. Вычисление значения $f''(2)$

Подставим значение $x = 2$ в полученное выражение для второй производной:$f''(2) = \frac{1}{(1 + 2^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1 + 4)^{3/2}} = \frac{1}{5^{3/2}}$.

Значение $5^{3/2}$ равно $\sqrt{5^3} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

Следовательно, $f''(2) = \frac{1}{5\sqrt{5}}$.

Ответ: $\frac{1}{5\sqrt{5}}$

9. Решите уравнение $f'(x)=0$:

1) $f(x) = 3x^2 - x^3 - 2;$

2) $f(x) = 4 + 2x^2 - x^4;$

3) $f(x) = \sin 2x + \cos 2x - 2;$

4) $f(x) = \sin^2 2x + 2x - \pi.$

1) Дана функция $f(x) = 3x^2 - x^3 - 2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производной константы $(C)' = 0$:

$f'(x) = (3x^2 - x^3 - 2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} - 3x^{3-1} - 0 = 6x - 3x^2$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 0$

$6x - 3x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(2 - x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $2 - x = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Таким образом, мы нашли два корня уравнения.

Ответ: $0; 2$.

2) Дана функция $f(x) = 4 + 2x^2 - x^4$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4 + 2x^2 - x^4)' = 0 + 2 \cdot 2x - 4x^3 = 4x - 4x^3$.

Приравняем производную к нулю:

$4x - 4x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(1 - x^2) = 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$4x = 0 \implies x_1 = 0$

$1 - x = 0 \implies x_2 = 1$

$1 + x = 0 \implies x_3 = -1$

Мы получили три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.

3) Дана функция $f(x) = \sin(2x) + \cos(2x) - 2$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, а также производные тригонометрических функций $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$ и $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.

$f'(x) = (\sin(2x) + \cos(2x) - 2)' = (\sin(2x))' + (\cos(2x))' - (2)'$.

$(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

$(\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = 2\cos(2x) - 2\sin(2x)$.

Приравняем производную к нулю:

$2\cos(2x) - 2\sin(2x) = 0$

Разделим обе части на 2:

$\cos(2x) - \sin(2x) = 0$

$\cos(2x) = \sin(2x)$

Разделим обе части уравнения на $\cos(2x)$, убедившись, что $\cos(2x) \neq 0$. Если бы $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(2x) = 0$, что невозможно одновременно из-за основного тригонометрического тождества $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$

$\tan(2x) = 1$

Решим простейшее тригонометрическое уравнение. Аргумент тангенса равен:

$2x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $f(x) = \sin^2(2x) + 2x - \pi$.

Найдем производную функции. Для члена $\sin^2(2x)$ применяем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = 2x$, $v = \sin(u)$, тогда функция имеет вид $v^2$. Производная будет $(v^2)' = 2v \cdot v'$.

$(\sin^2(2x))' = 2\sin(2x) \cdot (\sin(2x))'$.

Производная $(\sin(2x))'$ равна $2\cos(2x)$.

Следовательно, $(\sin^2(2x))' = 2\sin(2x) \cdot 2\cos(2x) = 4\sin(2x)\cos(2x)$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, мы можем упростить это выражение:

$4\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot (2\sin(2x)\cos(2x)) = 2\sin(2 \cdot 2x) = 2\sin(4x)$.

Производная от остальных членов: $(2x)' = 2$ и $(-\pi)'=0$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = 2\sin(4x) + 2$.

Приравняем производную к нулю:

$2\sin(4x) + 2 = 0$

$2\sin(4x) = -2$

$\sin(4x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент синуса равен:

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

10. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $f'(x) < 0$, если:

1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$;

2) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$;

3) $f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x$;

4) $f(x) = x^2 + 4x - 5$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$.

Чтобы найти интервалы, на которых производная отрицательна, сначала найдем саму производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 2)' = 3x^2 - 3 \cdot 2x^1 - 0 = 3x^2 - 6x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 6x < 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 2) < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $3x(x - 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции отрицательны между ее корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(0, 2)$.

Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Единственное целое число в интервале $(0, 2)$ — это 1.

Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 6x)' = 3x^2 - 6x - 6$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 6x - 6 < 0$

Для упрощения разделим обе части неравенства на 3:

$x^2 - 2x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Итак, корни $x_1 = 1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{3}$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$.

Оценим значения корней: $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732$

$1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732$

Таким образом, искомый интервал примерно $(-0.732, 2.732)$. Целые числа, попадающие в этот интервал: 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

3) Дана функция $f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^3 + x^2 - 4x)' = 2 \cdot 3x^2 + 2x - 4 = 6x^2 + 2x - 4$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$6x^2 + 2x - 4 < 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$3x^2 + x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$ через дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 + x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1, \frac{2}{3})$.

В этом интервале находится только одно целое число — 0. Следовательно, это и есть наибольшее целое число.

Ответ: 0

4) Дана функция $f(x) = x^2 + 4x - 5$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + 4x - 5)' = 2x + 4$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x + 4 < 0$

Это линейное неравенство. Перенесем 4 в правую часть:

$2x < -4$

Разделим обе части на 2:

$x < -2$

Решением неравенства является интервал $(-\infty, -2)$.

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше -2. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это ..., -5, -4, -3. Наибольшим из них является -3.

Ответ: -3

11. 1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{x-2}{2} > \frac{(\sqrt{x}-6)^2}{x-7}$.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{6-x}{\sqrt{x^2-8x+7}} \ge 0$.

3) Решите неравенство $(x^2+4x-12) \cdot \sqrt{x^2+2x-3} < 0$.

1) Исходное неравенство: $ \frac{x-2}{2} > \frac{(\sqrt{x}-6)^2}{x-7} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ x \ge 0 $.

2. Знаменатель не может быть равен нулю: $ x - 7 \neq 0 $, то есть $ x \neq 7 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in [0, 7) \cup (7, +\infty) $.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя $ x - 7 $.

Случай 1: $ x - 7 > 0 $, то есть $ x > 7 $.

В этом случае мы можем умножить обе части неравенства на $ 2(x-7) > 0 $, не меняя знака неравенства:

$ (x-2)(x-7) > 2(\sqrt{x}-6)^2 $

Правая часть $ 2(\sqrt{x}-6)^2 $ всегда неотрицательна. Левая часть $ (x-2)(x-7) $ при $ x > 7 $ также всегда положительна. Решим это неравенство. $ x^2 - 9x + 14 > 2(x - 12\sqrt{x} + 36) $

$ x^2 - 9x + 14 > 2x - 24\sqrt{x} + 72 $

$ x^2 - 11x - 58 + 24\sqrt{x} > 0 $.

Решение этого иррационального неравенства затруднительно, поэтому вернемся к исходному и проанализируем его иначе.

Случай 2: $ x - 7 < 0 $, то есть $ 0 \le x < 7 $.

Умножим обе части на $ 2(x-7) < 0 $, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$ (x-2)(x-7) < 2(\sqrt{x}-6)^2 $

Рассмотрим подынтервалы.

- Если $ 2 \le x < 7 $, то $ x-2 \ge 0 $ и $ x-7 < 0 $. Левая часть $ (x-2)(x-7) \le 0 $.

Правая часть $ 2(\sqrt{x}-6)^2 $ всегда неотрицательна. Если $ x \neq 36 $, то она строго положительна. В нашем интервале $ x < 7 $, поэтому $ x \neq 36 $.

Таким образом, на интервале $ [2, 7) $ мы имеем (неположительное число) < (положительное число), что всегда верно.

- Если $ 0 \le x < 2 $, то $ x-2 < 0 $ и $ x-7 < 0 $. Левая часть $ (x-2)(x-7) > 0 $.

Проверим граничное значение $ x=0 $.

$ \frac{0-2}{2} > \frac{(\sqrt{0}-6)^2}{0-7} \implies \frac{-2}{2} > \frac{36}{-7} \implies -1 > -5.14... $

Это верное неравенство, значит $ x=0 $ является решением.

Так как $ x=0 $ является решением, и интервал $ [2, 7) $ также является решением, наименьшее целое число, входящее в область решений, — это 0. Нам не требуется находить точное решение для $ x > 7 $, так как мы уже нашли наименьшее целое решение.

Ответ: 0

2) Исходное неравенство: $ \frac{6-x}{\sqrt{x^2-8x+7}} > 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$ x^2-8x+7 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ x^2-8x+7=0 $. По теореме Виета, корни $ x_1=1 $ и $ x_2=7 $.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней.

ОДЗ: $ x \in (-\infty, 1) \cup (7, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство. Знаменатель $ \sqrt{x^2-8x+7} $ в области ОДЗ всегда строго положителен. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя.

Для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был положителен:

$ 6-x > 0 $

$ x < 6 $.

Теперь найдем пересечение полученного решения $ x < 6 $ с ОДЗ $ x \in (-\infty, 1) \cup (7, +\infty) $.

Пересечением этих двух условий является интервал $ x \in (-\infty, 1) $.

Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа, принадлежащие интервалу $ (-\infty, 1) $, это $ ...-2, -1, 0 $. Наибольшее из них — 0.

Ответ: 0

3) Исходное неравенство: $ (x^2+4x-12) \cdot \sqrt{x^2+2x-3} < 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$ x^2+2x-3 \ge 0 $.

Найдем корни уравнения $ x^2+2x-3=0 $. По теореме Виета, корни $ x_1=1 $ и $ x_2=-3 $.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому она неотрицательна на концах и за пределами корней.

ОДЗ: $ x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty) $.

Теперь решим неравенство. Множитель $ \sqrt{x^2+2x-3} $ по определению всегда неотрицателен ($ \ge 0 $).

Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Так как второй множитель не может быть отрицательным, для выполнения неравенства необходимо, чтобы:

1. Первый множитель был отрицательным: $ x^2+4x-12 < 0 $.

2. Второй множитель был строго положительным (не равным нулю): $ \sqrt{x^2+2x-3} > 0 $, что равносильно $ x^2+2x-3 > 0 $.

Решим первое неравенство: $ x^2+4x-12 < 0 $.

Найдем корни уравнения $ x^2+4x-12=0 $. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем $ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4(1)(-12)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} $.

Корни $ x_1 = -6 $ и $ x_2 = 2 $.

Это парабола с ветвями вверх, значит, она отрицательна между корнями: $ x \in (-6, 2) $.

Второе условие $ x^2+2x-3 > 0 $ означает, что $ x \neq 1 $ и $ x \neq -3 $. Это условие ужесточает ОДЗ до $ x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) $.

Теперь найдем пересечение множества решений $ x \in (-6, 2) $ и новой, более строгой, ОДЗ $ x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) $.

Пересекая $ (-6, 2) $ с $ (-\infty, -3) $, получаем $ (-6, -3) $.

Пересекая $ (-6, 2) $ с $ (1, +\infty) $, получаем $ (1, 2) $.

Объединяя эти два интервала, получаем окончательное решение.

Ответ: $ x \in (-6, -3) \cup (1, 2) $

12. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

1) $f(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) - x$;

2) $f(x) = 2\sin\frac{x}{2} - \sqrt{3}x$;

3) $f(x) = 3\cos^2x + 2\sin^2x + 3x$;

4) $f(x) = \sin^2(3x) - \frac{1}{12}\cos(6x) + x$;

5) $f(x) = 1 + \arccos(3x) + 2x$;

6) $f(x) = \operatorname{arctg}(2x) + 2x$.

1)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) - x$.

Найдем её производную, используя правило дифференцирования сложной функции $(\cos u)' = -u' \sin u$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{3}\cos(3x) - x\right)' = \frac{1}{3} \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' - 1 = \frac{1}{3} \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 - 1 = -\sin(3x) - 1$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-\sin(3x) - 1 > 0$

$-\sin(3x) > 1$

$\sin(3x) < -1$

Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, неравенство $\sin(3x) < -1$ не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

2)

Дана функция $f(x) = 2\sin(\frac{x}{2}) - \sqrt{3} \cdot x$.

Найдем её производную, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sin u)' = u' \cos u$:

$f'(x) = \left(2\sin\left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{3}x\right)' = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' - \sqrt{3} = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{3}$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{3} > 0$

$\cos\left(\frac{x}{2}\right) > \sqrt{3}$

Поскольку область значений функции косинус $[-1, 1]$ и $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, неравенство $\cos\left(\frac{x}{2}\right) > \sqrt{3}$ не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

3)

Дана функция $f(x) = 3\cos^2x + 2\sin^2x + 3x$.

Упростим функцию, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$f(x) = \cos^2x + 2\cos^2x + 2\sin^2x + 3x = \cos^2x + 2(\cos^2x + \sin^2x) + 3x = \cos^2x + 2 + 3x$.

Найдем производную функции, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$f'(x) = (\cos^2x + 2 + 3x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) + 0 + 3 = -2\sin x \cos x + 3 = -\sin(2x) + 3$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$-\sin(2x) + 3 > 0$

$3 > \sin(2x)$

$\sin(2x) < 3$

Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, то значение $\sin(2x)$ всегда меньше 3. Следовательно, неравенство выполняется для любых действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4)

Дана функция $f(x) = \sin^2(3x) - \frac{1}{12}\cos(6x) + x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin^2(3x) - \frac{1}{12}\cos(6x) + x)' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 - \frac{1}{12}(-\sin(6x)) \cdot 6 + 1$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$f'(x) = 3 \cdot \sin(6x) + \frac{1}{2}\sin(6x) + 1 = \frac{7}{2}\sin(6x) + 1$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{7}{2}\sin(6x) + 1 > 0$

$\frac{7}{2}\sin(6x) > -1$

$\sin(6x) > -\frac{2}{7}$

Решение этого тригонометрического неравенства имеет вид:

$\arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi n < 6x < \pi - \arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$, получаем:

$-\arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi n < 6x < \pi + \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi n$

Разделим все части неравенства на 6:

$-\frac{1}{6}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{1}{6}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(-\frac{1}{6}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{1}{6}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{\pi n}{3}\right)$, $n \in \mathbb{Z}$.

5)

Дана функция $f(x) = 1 + \arccos(3x) + 2x$.

Область определения функции задается условием $-1 \le 3x \le 1$, то есть $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.

Найдем производную, используя формулу $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$:

$f'(x) = (1 + \arccos(3x) + 2x)' = 0 - \frac{(3x)'}{\sqrt{1-(3x)^2}} + 2 = 2 - \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$.

Область определения производной: $1-9x^2 > 0 \implies x^2 < \frac{1}{9} \implies x \in (-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$ на области определения производной:

$2 - \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}} > 0$

$2 > \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

$2\sqrt{1-9x^2} > 3 \implies \sqrt{1-9x^2} > \frac{3}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$1-9x^2 > \frac{9}{4} \implies -9x^2 > \frac{5}{4} \implies x^2 < -\frac{5}{36}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

6)

Дана функция $f(x) = \operatorname{arcctg}(2x) + 2x$.

Найдем производную, используя формулу $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{u'}{1+u^2}$:

$f'(x) = (\operatorname{arcctg}(2x) + 2x)' = -\frac{(2x)'}{1+(2x)^2} + 2 = 2 - \frac{2}{1+4x^2}$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2 - \frac{2}{1+4x^2} > 0$

$2 > \frac{2}{1+4x^2} \implies 1 > \frac{1}{1+4x^2}$

Так как $1+4x^2 > 0$ для любого $x$, умножим обе части на $1+4x^2$:

$1+4x^2 > 1 \implies 4x^2 > 0 \implies x^2 > 0$

Это неравенство верно для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

13. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

1) $f(x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} x;$

2) $f(x) = \sin x - \frac{x}{2};$

3) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x;$

4) $f(x) = x + \operatorname{ctg}x.$

1) Дана функция $f(x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} x$.

Для решения уравнения $f'(x) = 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} x)' = (\cos x)' + (\frac{\sqrt{3}}{2} x)' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь приравняем производную к нулю:

$-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решениями являются:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то общее решение:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x - \frac{x}{2})' = (\sin x)' - (\frac{x}{2})' = \cos x - \frac{1}{2}$.

Приравняем производную к нулю:

$\cos x - \frac{1}{2} = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то общее решение:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана функция $f(x) = 2x - \tan x$.

Область определения функции задается условием $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x - \tan x)' = (2x)' - (\tan x)' = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$.

Приравняем производную к нулю:

$2 - \frac{1}{\cos^2 x} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} = 2$

$\cos^2 x = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Если $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Найденные корни не совпадают с ограничениями области определения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $f(x) = x + \cot x$.

Область определения функции задается условием $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x + \cot x)' = (x)' + (\cot x)' = 1 - \frac{1}{\sin^2 x}$.

Приравняем производную к нулю:

$1 - \frac{1}{\sin^2 x} = 0$

$\frac{1}{\sin^2 x} = 1$

$\sin^2 x = 1$

Отсюда следует, что $\sin x = \pm 1$.

Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $\sin x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Найденные корни не совпадают с ограничениями области определения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

14. Решите уравнение:

1) $ \sin^4 \frac{x}{2} = \cos^4 \frac{x}{2} + \frac{1}{4} $;

2) $ \sin^6 x + \cos^6 x = \frac{7}{16} $;

3) $ \cos^2 x - \cos^2 2x = \cos^2 4x - \cos^2 3x $;

4) $ 5\sin^2 x - \sqrt{3} \cos x \cdot \sin x + 6\cos^2 x = 5 $;

5) $ (x - 1)^2 (x^2 - 2x) = 12 $;

6) $ (x - 3)^2 (x^2 - 6x) + 16 = 4 $;

7) $ (x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) - 3 = 0 $;

8) $ (x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x - 2) + 1 = 0 $;

9) $ \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 7\left(x + \frac{1}{x}\right) + 12 = 0 $;

10) $ \left(x^2 + \frac{4}{x^2}\right) - \left(x - \frac{2}{x}\right) - 16 = 0 $.

1) Исходное уравнение: $sin^4\frac{x}{2} = cos^4\frac{x}{2} + \frac{1}{4}$.

Перенесем $cos^4\frac{x}{2}$ в левую часть и умножим обе части на -1:

$cos^4\frac{x}{2} - sin^4\frac{x}{2} = -\frac{1}{4}$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = cos^2\frac{x}{2}$ и $b = sin^2\frac{x}{2}$:

$(cos^2\frac{x}{2} - sin^2\frac{x}{2})(cos^2\frac{x}{2} + sin^2\frac{x}{2}) = -\frac{1}{4}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Для $\alpha = \frac{x}{2}$ имеем:

$cos(2 \cdot \frac{x}{2}) \cdot 1 = -\frac{1}{4}$.

$cos x = -\frac{1}{4}$.

Отсюда находим $x$:

$x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin^6x + cos^6x = \frac{7}{16}$.

Представим левую часть как сумму кубов $(sin^2x)^3 + (cos^2x)^3$ и воспользуемся формулой $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(sin^2x + cos^2x)(sin^4x - sin^2x cos^2x + cos^4x) = \frac{7}{16}$.

Так как $sin^2x + cos^2x = 1$, уравнение упрощается:

$sin^4x + cos^4x - sin^2x cos^2x = \frac{7}{16}$.

Выражение $sin^4x + cos^4x$ можно преобразовать: $sin^4x + cos^4x = (sin^2x+cos^2x)^2 - 2sin^2xcos^2x = 1 - 2sin^2xcos^2x$.

Подставим это в уравнение:

$(1 - 2sin^2xcos^2x) - sin^2xcos^2x = \frac{7}{16}$.

$1 - 3sin^2xcos^2x = \frac{7}{16}$.

$3sin^2xcos^2x = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.

$sin^2xcos^2x = \frac{3}{16}$.

$(sinx cosx)^2 = \frac{3}{16}$.

Используя формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$, получаем $sinxcosx = \frac{sin(2x)}{2}$:

$(\frac{sin(2x)}{2})^2 = \frac{3}{16} \Rightarrow \frac{sin^2(2x)}{4} = \frac{3}{16} \Rightarrow sin^2(2x) = \frac{3}{4}$.

Применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1-cos(4x)}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow 1 - cos(4x) = \frac{3}{2} \Rightarrow cos(4x) = -\frac{1}{2}$.

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $cos^2x - cos^22x = cos^24x - cos^23x$.

Сгруппируем члены: $cos^2x + cos^23x = cos^22x + cos^24x$.

Используем формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1+cos(2x)}{2} + \frac{1+cos(6x)}{2} = \frac{1+cos(4x)}{2} + \frac{1+cos(8x)}{2}$.

Умножим обе части на 2 и упростим:

$2 + cos(2x) + cos(6x) = 2 + cos(4x) + cos(8x)$.

$cos(2x) + cos(6x) = cos(4x) + cos(8x)$.

Применим формулу суммы косинусов $cosA + cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$:

$2cos(\frac{2x+6x}{2})cos(\frac{6x-2x}{2}) = 2cos(\frac{4x+8x}{2})cos(\frac{8x-4x}{2})$.

$2cos(4x)cos(2x) = 2cos(6x)cos(2x)$.

$cos(2x)(cos(4x) - cos(6x)) = 0$.

Получаем два случая:

1) $cos(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $cos(4x) = cos(6x) \Rightarrow 6x = \pm 4x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$6x = 4x + 2\pi n \Rightarrow 2x = 2\pi n \Rightarrow x = \pi n$.

$6x = -4x + 2\pi n \Rightarrow 10x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{5}$.

Серия корней $x = \pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi n}{5}$ (при $n$, кратных 5).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi n}{5}, k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $5sin^2x - \sqrt{3}cosx sinx + 6cos^2x = 5$.

Заменим 5 в правой части на $5(sin^2x + cos^2x)$:

$5sin^2x - \sqrt{3}sinx cosx + 6cos^2x = 5sin^2x + 5cos^2x$.

Упростим уравнение:

$-\sqrt{3}sinx cosx + cos^2x = 0$.

Вынесем $cosx$ за скобки: $cosx(-\sqrt{3}sinx + cosx) = 0$.

Получаем два случая:

1) $cosx = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $-\sqrt{3}sinx + cosx = 0 \Rightarrow cosx = \sqrt{3}sinx$.

Если $cosx=0$, то $sinx=\pm 1$, и равенство не выполняется, значит можно разделить на $cosx \neq 0$:

$1 = \sqrt{3}tanx \Rightarrow tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = \frac{\pi}{6} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $(x-1)^2(x^2 - 2x) = 12$.

Заметим, что $x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$.

Сделаем замену $t = (x-1)^2$. Тогда $x^2 - 2x = t - 1$. Уравнение принимает вид:

$t(t-1) = 12$.

$t^2 - t - 12 = 0$.

Решаем квадратное уравнение относительно $t$: $(t-4)(t+3) = 0$.

Корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $(x-1)^2 = 4 \Rightarrow x-1 = \pm 2$.

$x-1 = 2 \Rightarrow x = 3$.

$x-1 = -2 \Rightarrow x = -1$.

2) $(x-1)^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: $x = -1, x = 3$.

6) Исходное уравнение: $(x-3)^2(x^2 - 6x) + 16 = 4$.

$(x-3)^2(x^2 - 6x) = -12$.

Заметим, что $x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x-3)^2 - 9$.

Сделаем замену $t = (x-3)^2$. Тогда $x^2 - 6x = t - 9$. Уравнение принимает вид:

$t(t-9) = -12$.

$t^2 - 9t + 12 = 0$.

Решаем квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 81 - 48 = 33$.

$t = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Оба значения $t$ положительны, так как $9 > \sqrt{33}$.

Вернемся к замене:

$(x-3)^2 = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}$.

$x-3 = \pm \sqrt{\frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}}$.

$x = 3 \pm \sqrt{\frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}}$.

Ответ: $x = 3 \pm \sqrt{\frac{9 + \sqrt{33}}{2}}, x = 3 \pm \sqrt{\frac{9 - \sqrt{33}}{2}}$.

7) Исходное уравнение: $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2 - 3x$. Уравнение принимает вид:

$(t+1)(t+3) - 3 = 0$.

$t^2 + 4t + 3 - 3 = 0$.

$t^2 + 4t = 0 \Rightarrow t(t+4) = 0$.

Корни: $t_1 = 0$, $t_2 = -4$.

Вернемся к замене:

1) $x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=3$.

2) $x^2 - 3x = -4 \Rightarrow x^2 - 3x + 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x = 0, x = 3$.

8) Исходное уравнение: $(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x - 2) + 1 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2 + 3x$. Уравнение принимает вид:

$(t-4)(t-2) + 1 = 0$.

$t^2 - 6t + 8 + 1 = 0$.

$t^2 - 6t + 9 = 0$.

$(t-3)^2 = 0$.

Отсюда $t = 3$.

Вернемся к замене: $x^2 + 3x = 3 \Rightarrow x^2 + 3x - 3 = 0$.

Решаем квадратное уравнение:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

9) Исходное уравнение: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0$. Очевидно, $x \neq 0$.

Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 - 2) + 7t + 12 = 0$.

$t^2 + 7t + 10 = 0$.

$(t+2)(t+5) = 0$.

Корни: $t_1 = -2$, $t_2 = -5$.

Вернемся к замене:

1) $x + \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2 + 1 = -2x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$.

2) $x + \frac{1}{x} = -5 \Rightarrow x^2 + 1 = -5x \Rightarrow x^2 + 5x + 1 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21$.

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x = -1, x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

10) Исходное уравнение: $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 16 = 0$. Очевидно, $x \neq 0$.

Сделаем замену $t = x - \frac{2}{x}$. Тогда $t^2 = (x - \frac{2}{x})^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 4$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 + 4) - t - 16 = 0$.

$t^2 - t - 12 = 0$.

$(t-4)(t+3) = 0$.

Корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $x - \frac{2}{x} = 4 \Rightarrow x^2 - 2 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x - 2 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.

2) $x - \frac{2}{x} = -3 \Rightarrow x^2 - 2 = -3x \Rightarrow x^2 + 3x - 2 = 0$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $x = 2 \pm \sqrt{6}, x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.