Номер 9, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9. Решите уравнение $f'(x)=0$:

1) $f(x) = 3x^2 - x^3 - 2;$

2) $f(x) = 4 + 2x^2 - x^4;$

3) $f(x) = \sin 2x + \cos 2x - 2;$

4) $f(x) = \sin^2 2x + 2x - \pi.$

1) Дана функция $f(x) = 3x^2 - x^3 - 2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производной константы $(C)' = 0$:

$f'(x) = (3x^2 - x^3 - 2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} - 3x^{3-1} - 0 = 6x - 3x^2$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 0$

$6x - 3x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(2 - x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $2 - x = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Таким образом, мы нашли два корня уравнения.

Ответ: $0; 2$.

2) Дана функция $f(x) = 4 + 2x^2 - x^4$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4 + 2x^2 - x^4)' = 0 + 2 \cdot 2x - 4x^3 = 4x - 4x^3$.

Приравняем производную к нулю:

$4x - 4x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(1 - x^2) = 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$4x = 0 \implies x_1 = 0$

$1 - x = 0 \implies x_2 = 1$

$1 + x = 0 \implies x_3 = -1$

Мы получили три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.

3) Дана функция $f(x) = \sin(2x) + \cos(2x) - 2$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, а также производные тригонометрических функций $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$ и $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.

$f'(x) = (\sin(2x) + \cos(2x) - 2)' = (\sin(2x))' + (\cos(2x))' - (2)'$.

$(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

$(\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = 2\cos(2x) - 2\sin(2x)$.

Приравняем производную к нулю:

$2\cos(2x) - 2\sin(2x) = 0$

Разделим обе части на 2:

$\cos(2x) - \sin(2x) = 0$

$\cos(2x) = \sin(2x)$

Разделим обе части уравнения на $\cos(2x)$, убедившись, что $\cos(2x) \neq 0$. Если бы $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(2x) = 0$, что невозможно одновременно из-за основного тригонометрического тождества $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$

$\tan(2x) = 1$

Решим простейшее тригонометрическое уравнение. Аргумент тангенса равен:

$2x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $f(x) = \sin^2(2x) + 2x - \pi$.

Найдем производную функции. Для члена $\sin^2(2x)$ применяем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = 2x$, $v = \sin(u)$, тогда функция имеет вид $v^2$. Производная будет $(v^2)' = 2v \cdot v'$.

$(\sin^2(2x))' = 2\sin(2x) \cdot (\sin(2x))'$.

Производная $(\sin(2x))'$ равна $2\cos(2x)$.

Следовательно, $(\sin^2(2x))' = 2\sin(2x) \cdot 2\cos(2x) = 4\sin(2x)\cos(2x)$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, мы можем упростить это выражение:

$4\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot (2\sin(2x)\cos(2x)) = 2\sin(2 \cdot 2x) = 2\sin(4x)$.

Производная от остальных членов: $(2x)' = 2$ и $(-\pi)'=0$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = 2\sin(4x) + 2$.

Приравняем производную к нулю:

$2\sin(4x) + 2 = 0$

$2\sin(4x) = -2$

$\sin(4x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент синуса равен:

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.