Номер 15, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15. Решите систему тригонометрических неравенств:

1) $\begin{cases} \sin x < \frac{1}{2}, \\ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \operatorname{ctg} x < 1, \\ \operatorname{tg} x > \frac{\sqrt{3}}{3}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \operatorname{tg} x < \sqrt{3}, \\ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$

1)

Решим первое неравенство $ \sin x < \frac{1}{2} $. На тригонометрической окружности этому неравенству соответствуют точки, ордината которых (значение синуса) меньше $ \frac{1}{2} $. Решением является множество $ x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{13\pi}{6} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решим второе неравенство $ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} $. На тригонометрической окружности этому неравенству соответствуют точки, абсцисса которых (значение косинуса) больше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Решением является множество $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Для нахождения решения системы найдем пересечение этих двух множеств. Удобно сделать это, отметив дуги на единичной окружности.

Дуга, соответствующая первому неравенству, начинается в точке $ \frac{5\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{6} $ (следующего оборота).

Дуга, соответствующая второму неравенству, идет от $ -\frac{\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{4} $.

Пересечением этих дуг будет дуга, идущая от $ -\frac{\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{6} $.

Таким образом, общее решение системы: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

2)

Рассмотрим систему $ \begin{cases} \cot x < 1 \\ \tan x > \frac{\sqrt{3}}{3} \end{cases} $.

Из второго неравенства $ \tan x > \frac{\sqrt{3}}{3} $ следует, что $ \tan x $ принимает только положительные значения.

Так как $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $, то при $ \tan x > 0 $ первое неравенство $ \cot x < 1 $ равносильно неравенству $ \frac{1}{\tan x} < 1 $, что, в свою очередь, эквивалентно $ \tan x > 1 $.

Таким образом, исходная система равносильна системе $ \begin{cases} \tan x > 1 \\ \tan x > \frac{\sqrt{3}}{3} \end{cases} $.

Поскольку $ 1 > \frac{\sqrt{3}}{3} $ (так как $ 1 > \frac{1.732...}{3} \approx 0.577 $), то решение системы сводится к решению одного, более сильного, неравенства $ \tan x > 1 $.

Решением неравенства $ \tan x > 1 $ является множество $ x \in (\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

3)

Рассмотрим систему $ \begin{cases} \tan x < \sqrt{3} \\ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $.

Решением второго неравенства $ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} $ является интервал $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Проверим, выполняется ли на этом интервале первое неравенство $ \tan x < \sqrt{3} $.

Для любого $ x $ из интервала $ (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}) $, значения $ \tan x $ лежат в интервале $ (\tan(-\frac{\pi}{4}), \tan(\frac{\pi}{4})) $, то есть $ (-1, 1) $.

Так как $ 1 < \sqrt{3} $, то для всех $ x $, удовлетворяющих условию $ \tan x < 1 $, автоматически выполняется и условие $ \tan x < \sqrt{3} $.

Это означает, что любое решение второго неравенства является и решением первого. Таким образом, решение системы совпадает с решением второго неравенства.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.