Номер 17, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17. Найдите координаты точки перегиба графика функции:

1) $y = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$;

2) $y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$;

3) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$;

4) $y = 4 - 3x + 2x^3$.

Для нахождения координат точки перегиба графика функции необходимо найти вторую производную функции, приравнять ее к нулю и найти корни получившегося уравнения. Эти корни являются абсциссами возможных точек перегиба. Затем нужно проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через эти точки. Если знак меняется, то это действительно точка перегиба. Наконец, нужно найти ординату точки, подставив ее абсциссу в исходную функцию.

1) $y = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$

1. Находим область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 1$.

2. Находим первую производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(2x^3)'(x^2-1) - 2x^3(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = \frac{6x^2(x^2-1) - 2x^3(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x^4 - 6x^2 - 4x^4}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^4 - 6x^2}{(x^2-1)^2}$.

3. Находим вторую производную:

$y'' = \frac{(2x^4 - 6x^2)'(x^2-1)^2 - (2x^4-6x^2)((x^2-1)^2)'}{((x^2-1)^2)^2}$

$y'' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2-1)^2 - (2x^4-6x^2)(2(x^2-1) \cdot 2x)}{(x^2-1)^4}$

Сократим на $(x^2-1)$:

$y'' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2-1) - 4x(2x^4-6x^2)}{(x^2-1)^3} = \frac{8x^5 - 8x^3 - 12x^3 + 12x - 8x^5 + 24x^3}{(x^2-1)^3}$

$y'' = \frac{4x^3 + 12x}{(x^2-1)^3} = \frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.

4. Приравниваем вторую производную к нулю: $y'' = 0$.

$\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$4x(x^2+3) = 0$. Так как $x^2+3 > 0$ для любого $x$, то $x=0$.

5. Проверяем смену знака второй производной в точке $x=0$.

При $x \in (-1, 0)$, $y'' < 0$ (например, при $x=-0.5$, $y'' = \frac{4(-0.5)(0.25+3)}{(-0.75)^3} > 0$). Ошибка в знаке. Давайте перепроверим. $x=-0.5$. Числитель: $4(-0.5)(...) < 0$. Знаменатель: $((-0.5)^2-1)^3 = (0.25-1)^3 = (-0.75)^3 < 0$. Итого $y'' = \frac{(-)}{(-)} > 0$ (график вогнутый).

При $x \in (0, 1)$, $y'' > 0$ (например, при $x=0.5$, $y'' = \frac{4(0.5)(0.25+3)}{(-0.75)^3} < 0$). Числитель: $4(0.5)(...) > 0$. Знаменатель: $((0.5)^2-1)^3 = (0.25-1)^3 = (-0.75)^3 < 0$. Итого $y'' = \frac{(+)}{(-)} < 0$ (график выпуклый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Находим ординату точки перегиба: $y(0) = \frac{2 \cdot 0^3}{0^2 - 1} = 0$.

Координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

2) $y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$

1. Область определения: $x \neq \pm 1$.

2. Первая производная: $y' = \frac{(2x^2)'(x^2-1) - 2x^2(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = \frac{4x(x^2-1) - 2x^2(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{4x^3 - 4x - 4x^3}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$.

3. Вторая производная:

$y'' = \frac{(-4x)'(x^2-1)^2 - (-4x)((x^2-1)^2)'}{((x^2-1)^2)^2} = \frac{-4(x^2-1)^2 + 4x(2(x^2-1) \cdot 2x)}{(x^2-1)^4}$

Сократим на $(x^2-1)$:

$y'' = \frac{-4(x^2-1) + 16x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{-4x^2 + 4 + 16x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3} = \frac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$.

4. Приравниваем вторую производную к нулю: $y'' = 0$.

$\frac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} = 0$.

$4(3x^2+1) = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $3x^2+1$ всегда больше нуля.

5. Вторая производная не обращается в ноль, а точки, где она не существует ($x=\pm 1$), не входят в область определения функции. Следовательно, у графика функции нет точек перегиба.

Ответ: точек перегиба нет.

3) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения: $4 - x^2 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 2$.

2. Первая производная: $y' = \frac{(x^3)'(4-x^2) - x^3(4-x^2)'}{(4-x^2)^2} = \frac{3x^2(4-x^2) - x^3(-2x)}{(4-x^2)^2} = \frac{12x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(4-x^2)^2} = \frac{12x^2 - x^4}{(4-x^2)^2}$.

3. Вторая производная:

$y'' = \frac{(12x^2-x^4)'(4-x^2)^2 - (12x^2-x^4)((4-x^2)^2)'}{((4-x^2)^2)^2}$

$y'' = \frac{(24x-4x^3)(4-x^2)^2 - (12x^2-x^4)(2(4-x^2)(-2x))}{(4-x^2)^4}$

Сократим на $(4-x^2)$:

$y'' = \frac{(24x-4x^3)(4-x^2) + 4x(12x^2-x^4)}{(4-x^2)^3} = \frac{96x - 24x^3 - 16x^3 + 4x^5 + 48x^3 - 4x^5}{(4-x^2)^3}$

$y'' = \frac{96x + 8x^3}{(4-x^2)^3} = \frac{8x(12+x^2)}{(4-x^2)^3}$.

4. Приравниваем вторую производную к нулю: $y'' = 0$.

$\frac{8x(12+x^2)}{(4-x^2)^3} = 0$.

$8x(12+x^2) = 0$. Так как $12+x^2 > 0$ для любого $x$, то $x=0$.

5. Проверяем смену знака второй производной в точке $x=0$.

При $x \in (-2, 0)$, $y'' < 0$ (например, при $x=-1$, $y'' = \frac{8(-1)(12+1)}{(4-1)^3} = \frac{-8 \cdot 13}{27} < 0$, график выпуклый).

При $x \in (0, 2)$, $y'' > 0$ (например, при $x=1$, $y'' = \frac{8(1)(12+1)}{(4-1)^3} = \frac{8 \cdot 13}{27} > 0$, график вогнутый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Находим ординату точки перегиба: $y(0) = \frac{0^3}{4 - 0^2} = 0$.

Координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) $y = 4 - 3x + 2x^3$

1. Область определения: $x \in (-\infty, \infty)$, так как это многочлен.

2. Первая производная: $y' = (4 - 3x + 2x^3)' = -3 + 6x^2$.

3. Вторая производная: $y'' = (-3 + 6x^2)' = 12x$.

4. Приравниваем вторую производную к нулю: $y'' = 0$.

$12x = 0$, откуда $x=0$.

5. Проверяем смену знака второй производной в точке $x=0$.

При $x < 0$, $y'' = 12x < 0$ (график выпуклый).

При $x > 0$, $y'' = 12x > 0$ (график вогнутый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Находим ординату точки перегиба: $y(0) = 4 - 3(0) + 2(0)^3 = 4$.

Координаты точки перегиба: $(0, 4)$.

Ответ: $(0, 4)$.