Номер 24, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24. 1) Спортивная площадка прямоугольной формы имеет площадь $3600 \text{ м}^2$. Найдите размеры этой площадки, если надо использовать наименьшее количество размера $1 \text{ м} \times 2 \text{ м}$.

2) Одно из оснований и две боковые стороны трапеции равны $15 \text{ см}$. Найдите значение длины второго основания трапеции, чтобы ее площадь была наибольшей.

1)

Пусть стороны прямоугольной площадки равны $a$ и $b$.

Площадь площадки $S = a \cdot b = 3600 \text{ м}^2$.

Фраза "использовать наименьшее количество размера 1 м х 2 м" является не вполне ясной. Наиболее вероятная трактовка этой фразы в контексте математической задачи — это минимизация периметра площадки (например, для установки ограждения с наименьшими затратами материала). Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Нам необходимо найти размеры $a$ и $b$, при которых периметр $P$ будет минимальным при фиксированной площади $S = 3600$.

Выразим одну сторону через другую из формулы площади: $b = \frac{3600}{a}$.

Подставим это выражение в формулу периметра:

$P(a) = 2(a + \frac{3600}{a})$

Для нахождения минимального значения функции найдем ее производную по $a$ и приравняем к нулю.

$P'(a) = \frac{d}{da} (2a + \frac{7200}{a}) = 2 - \frac{7200}{a^2}$

Приравняем производную к нулю:

$2 - \frac{7200}{a^2} = 0$

$2 = \frac{7200}{a^2}$

$2a^2 = 7200$

$a^2 = 3600$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, получаем $a = \sqrt{3600} = 60$ м.

Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = \frac{3600}{a} = \frac{3600}{60} = 60$ м.

Таким образом, для минимизации периметра при заданной площади площадка должна быть квадратом со стороной 60 м. Размеры такого квадрата (60 м х 60 м) кратны 1 м и 2 м, что согласуется с возможной дополнительной трактовкой условия о размерах 1 м х 2 м.

Ответ: размеры площадки 60 м х 60 м.

2)

По условию, трапеция является равнобедренной, так как ее боковые стороны равны. Пусть одно основание $b_1 = 15$ см и боковые стороны $c = 15$ см. Обозначим второе основание через $b_2$, а высоту — через $h$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} h$.

Для нахождения максимума площади удобно выразить ее как функцию одной переменной. Введем угол $\alpha$ между боковой стороной и большим основанием. Для существования трапеции угол должен быть в пределах $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Выразим высоту $h$ и второе основание $b_2$ через $c$ и $\alpha$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c=15$ и острым углом $\alpha$.

Высота трапеции: $h = c \sin\alpha = 15 \sin\alpha$.

Проекция боковой стороны на большее основание равна $c \cos\alpha = 15 \cos\alpha$.

Второе основание $b_2$ будет больше первого: $b_2 = b_1 + 2 \cdot c \cos\alpha = 15 + 2 \cdot 15 \cos\alpha = 15 + 30 \cos\alpha$.

Подставим выражения для $b_2$ и $h$ в формулу площади:

$S(\alpha) = \frac{15 + (15 + 30 \cos\alpha)}{2} \cdot (15 \sin\alpha)$

$S(\alpha) = \frac{30 + 30 \cos\alpha}{2} \cdot 15 \sin\alpha = 15(1 + \cos\alpha) \cdot 15 \sin\alpha = 225(1 + \cos\alpha)\sin\alpha$.

Чтобы найти максимальную площадь, исследуем на экстремум функцию $f(\alpha) = (1 + \cos\alpha)\sin\alpha$. Найдем ее производную:

$f'(\alpha) = (-\sin\alpha)(\sin\alpha) + (1 + \cos\alpha)(\cos\alpha) = -\sin^2\alpha + \cos\alpha + \cos^2\alpha$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$f'(\alpha) = -(1 - \cos^2\alpha) + \cos\alpha + \cos^2\alpha = -1 + \cos^2\alpha + \cos\alpha + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1$.

Приравняем производную к нулю: $2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0$.

Сделаем замену $y = \cos\alpha$. Получим квадратное уравнение $2y^2 + y - 1 = 0$.

Найдем корни: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

Получаем два решения: $y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-4}{4} = -1$.

Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\cos\alpha > 0$. Следовательно, нам подходит только решение $\cos\alpha = \frac{1}{2}$, что соответствует углу $\alpha = 60^{\circ}$.

При этом значении $\cos\alpha$ площадь будет максимальной. Теперь найдем длину второго основания $b_2$:

$b_2 = 15 + 30 \cos\alpha = 15 + 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 + 15 = 30$ см.

Ответ: длина второго основания равна 30 см.