Номер 23, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23. Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t) = 4t^2 - \frac{1}{2}t$, где $s(t)$ — путь в метрах, $t$ — время в секундах. В какой момент времени из промежутка $[1; 8]$ скорость движения точки будет наибольшей и чему равна величина этой скорости?

Скорость движения материальной точки $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

Задан закон движения: $s(t) = 4t^2 - \frac{1}{2}t$.

Найдем функцию скорости, взяв производную от $s(t)$ по переменной $t$:

$v(t) = s'(t) = (4t^2 - \frac{1}{2}t)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = (4t^2)' - (\frac{1}{2}t)' = 4 \cdot 2t^{2-1} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot t^{1-1} = 8t - \frac{1}{2}$

Таким образом, скорость движения точки в любой момент времени $t$ описывается функцией $v(t) = 8t - 0.5$.

Нам необходимо найти наибольшее значение скорости на промежутке времени $[1; 8]$. Для этого исследуем функцию $v(t) = 8t - 0.5$ на этом отрезке.

Функция $v(t)$ является линейной. Чтобы определить характер ее монотонности, найдем ее производную:

$v'(t) = (8t - 0.5)' = 8$

Так как производная $v'(t) = 8$ положительна при любом значении $t$, функция скорости $v(t)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, а значит, и на отрезке $[1; 8]$.

Наибольшее значение монотонно возрастающая функция на отрезке принимает на его правом конце. Для отрезка $[1; 8]$ правым концом является точка $t = 8$.

Теперь вычислим величину этой наибольшей скорости, подставив значение $t = 8$ в уравнение для скорости:

$v(8) = 8 \cdot 8 - 0.5 = 64 - 0.5 = 63.5$

Следовательно, наибольшая скорость движения точки на данном промежутке достигается в момент времени $t = 8$ с и равна 63,5 м/с.

Ответ: наибольшая скорость достигается в момент времени 8 с и равна 63,5 м/с.