Номер 16, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16. Найдите асимптоты графика функции:

1) $y = \frac{x-3}{x-2}$;

2) $y = \frac{5-3x}{x+3}$;

3) $y = \frac{x^2+3}{x-2}$;

4) $y = \frac{x^2-2x}{x+1}$.

1) $y = \frac{x-3}{x-2}$

Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты графика функции находятся в точках разрыва функции. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому точки разрыва - это нули знаменателя.

Приравняем знаменатель к нулю: $x-2 = 0$, откуда $x=2$.

Проверим, что числитель не обращается в ноль при $x=2$: $2-3 = -1 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Для нахождения горизонтальных или наклонных асимптот ($y=kx+b$) исследуем поведение функции при $x \to \pm\infty$.

Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны (обе равны 1), у графика есть горизонтальная асимптота. Наклонной асимптоты нет ($k=0$).

Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид $y=b$, где $b = \lim_{x \to \infty} f(x)$.

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x-3}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{1}{1} = 1$.

Таким образом, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=1$.

2) $y = \frac{5-3x}{x+3}$

Вертикальные асимптоты.

Находим нули знаменателя: $x+3 = 0$, откуда $x=-3$.

Значение числителя в этой точке: $5-3(-3) = 5+9 = 14 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x=-3$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Степени многочленов в числителе и знаменателе равны (1). Значит, существует горизонтальная асимптота. Ее уравнение равно отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \frac{-3}{1} = -3$.

Прямая $y=-3$ является горизонтальной асимптотой. Наклонной асимптоты нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-3$, горизонтальная асимптота $y=-3$.

3) $y = \frac{x^2+3}{x-2}$

Вертикальные асимптоты.

Находим нули знаменателя: $x-2=0$, откуда $x=2$.

Значение числителя в этой точке: $2^2+3 = 7 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Степень числителя (2) больше степени знаменателя (1). Следовательно, горизонтальной асимптоты нет.

Поскольку степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя, существует наклонная асимптота вида $y=kx+b$.

Найдем коэффициенты $k$ и $b$ по формулам:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3}{x(x-2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3}{x^2-2x} = 1$.

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+3}{x-2} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3 - x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3-x^2+2x}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x-2} = 2$.

Уравнение наклонной асимптоты: $y=x+2$.

Этот же результат можно получить, выделив целую часть дроби: $y = \frac{x^2-4+7}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)+7}{x-2} = x+2 + \frac{7}{x-2}$. При $x \to \infty$ дробь $\frac{7}{x-2} \to 0$, поэтому график функции приближается к прямой $y=x+2$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+2$.

4) $y = \frac{x^2-2x}{x+1}$

Вертикальные асимптоты.

Находим нули знаменателя: $x+1=0$, откуда $x=-1$.

Значение числителя в этой точке: $(-1)^2-2(-1) = 1+2 = 3 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому существует наклонная асимптота $y=kx+b$ и отсутствует горизонтальная асимптота.

Найдем коэффициенты $k$ и $b$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x}{x(x+1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x}{x^2+x} = 1$.

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2-2x}{x+1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x - x(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x-x^2-x}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x}{x+1} = -3$.

Уравнение наклонной асимптоты: $y=x-3$.

Альтернативный способ — деление многочленов: $y = \frac{x(x+1)-3x}{x+1} = \frac{x(x+1)-3(x+1)+3}{x+1} = x-3 + \frac{3}{x+1}$. При $x \to \infty$ график функции приближается к прямой $y=x-3$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-1$, наклонная асимптота $y=x-3$.