Номер 13, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

1) $f(x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} x;$

2) $f(x) = \sin x - \frac{x}{2};$

3) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x;$

4) $f(x) = x + \operatorname{ctg}x.$

1) Дана функция $f(x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} x$.

Для решения уравнения $f'(x) = 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} x)' = (\cos x)' + (\frac{\sqrt{3}}{2} x)' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь приравняем производную к нулю:

$-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решениями являются:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то общее решение:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x - \frac{x}{2})' = (\sin x)' - (\frac{x}{2})' = \cos x - \frac{1}{2}$.

Приравняем производную к нулю:

$\cos x - \frac{1}{2} = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то общее решение:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана функция $f(x) = 2x - \tan x$.

Область определения функции задается условием $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x - \tan x)' = (2x)' - (\tan x)' = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$.

Приравняем производную к нулю:

$2 - \frac{1}{\cos^2 x} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} = 2$

$\cos^2 x = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Если $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Найденные корни не совпадают с ограничениями области определения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $f(x) = x + \cot x$.

Область определения функции задается условием $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x + \cot x)' = (x)' + (\cot x)' = 1 - \frac{1}{\sin^2 x}$.

Приравняем производную к нулю:

$1 - \frac{1}{\sin^2 x} = 0$

$\frac{1}{\sin^2 x} = 1$

$\sin^2 x = 1$

Отсюда следует, что $\sin x = \pm 1$.

Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $\sin x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Найденные корни не совпадают с ограничениями области определения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.