Номер 7, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Найдите производную функции $f'(x)$:

1) $f(x) = \sin^2 2x + \cos^2 2x - \sqrt{2x}$;

2) $f(x) = \sin^3 2x + \cos 3x - \frac{2}{x}$;

3) $f(x) = \operatorname{tg}^2 2x + \operatorname{ctg} 3x + \sqrt{\pi}$;

4) $f(x) = \operatorname{arctg} 2x + \operatorname{arccos} x + \sqrt{x}$;

5) $f(x) = \frac{2x - 1}{3x + 2} + 3x - 2$;

6) $f(x) = x \sin 2x + \sqrt{2 - 3x}$.

1) Дана функция $f(x) = \sin^2(2x) + \cos^2(2x) - \sqrt{2x}$.

Для нахождения производной сначала упростим функцию. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. В данном случае, положив $\alpha = 2x$, получаем $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = 1 - \sqrt{2x}$.

Теперь найдем производную этой упрощенной функции. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных. Производная константы равна нулю.$f'(x) = (1 - \sqrt{2x})' = (1)' - (\sqrt{2x})'$.

Производную от $\sqrt{2x}$ найдем как производную сложной функции, представив ее в виде $(2x)^{1/2}$.

$(\sqrt{2x})' = ((2x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x)^{1/2 - 1} \cdot (2x)' = \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2 = (2x)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Следовательно, $f'(x) = 0 - \frac{1}{\sqrt{2x}} = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin^3(2x) + \cos(3x) - \frac{2}{x}$.

Находим производную как сумму производных каждого слагаемого:

$f'(x) = (\sin^3(2x))' + (\cos(3x))' - (\frac{2}{x})'$.

1. Производная первого слагаемого $(\sin^3(2x))'$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:$((\sin(2x))^3)' = 3\sin^2(2x) \cdot (\sin(2x))' = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = 3\sin^2(2x)\cos(2x) \cdot 2 = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$.

2. Производная второго слагаемого $(\cos(3x))'$ также является производной сложной функции:$(\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

3. Производная третьего слагаемого $(\frac{2}{x})'$ находится по правилу степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:$(\frac{2}{x})' = (2x^{-1})' = 2 \cdot (-1)x^{-2} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Собираем все вместе:$f'(x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) - (-\frac{2}{x^2}) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) + \frac{2}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) + \frac{2}{x^2}$.

3) Дана функция $f(x) = \text{tg}^2(2x) + \text{ctg}(3x) + \sqrt{\pi}$.

Находим производную как сумму производных. Отметим, что $\sqrt{\pi}$ — это константа, и ее производная равна нулю.

$f'(x) = (\text{tg}^2(2x))' + (\text{ctg}(3x))' + (\sqrt{\pi})'$.

1. Производная первого слагаемого $(\text{tg}^2(2x))'$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:$((\text{tg}(2x))^2)' = 2\text{tg}(2x) \cdot (\text{tg}(2x))' = 2\text{tg}(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = 2\text{tg}(2x) \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{4\text{tg}(2x)}{\cos^2(2x)}$.

2. Производная второго слагаемого $(\text{ctg}(3x))'$ также является производной сложной функции:$(\text{ctg}(3x))' = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot (3x)' = -\frac{3}{\sin^2(3x)}$.

3. Производная константы: $(\sqrt{\pi})' = 0$.

Собираем все вместе:$f'(x) = \frac{4\text{tg}(2x)}{\cos^2(2x)} - \frac{3}{\sin^2(3x)} + 0$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4\text{tg}(2x)}{\cos^2(2x)} - \frac{3}{\sin^2(3x)}$.

4) Дана функция $f(x) = \text{arctg}(2x) + \arccos(x) + \sqrt{x}$.

Находим производную как сумму производных каждого слагаемого:

$f'(x) = (\text{arctg}(2x))' + (\arccos(x))' + (\sqrt{x})'$.

1. Производная первого слагаемого $(\text{arctg}(2x))'$ — производная сложной функции:$(\text{arctg}(2x))' = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{2}{1+4x^2}$.

2. Производная второго слагаемого $(\arccos(x))'$ — табличная производная:$(\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

3. Производная третьего слагаемого $(\sqrt{x})'$ — табличная производная:$(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Собираем все вместе:$f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

5) Дана функция $f(x) = \frac{2x-1}{3x+2} + 3x - 2$.

Находим производную как сумму производных:

$f'(x) = (\frac{2x-1}{3x+2})' + (3x)' - (2)'$.

1. Первое слагаемое — дробь, находим ее производную по правилу производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$(\frac{2x-1}{3x+2})' = \frac{(2x-1)'(3x+2) - (2x-1)(3x+2)'}{(3x+2)^2} = \frac{2(3x+2) - (2x-1) \cdot 3}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4 - (6x-3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4 - 6x+3}{(3x+2)^2} = \frac{7}{(3x+2)^2}$.

2. Производная второго слагаемого: $(3x)' = 3$.

3. Производная константы: $(2)' = 0$.

Собираем все вместе:$f'(x) = \frac{7}{(3x+2)^2} + 3 - 0$.

Ответ: $f'(x) = \frac{7}{(3x+2)^2} + 3$.

6) Дана функция $f(x) = x\sin(2x) + \sqrt{2-3x}$.

Находим производную как сумму производных:

$f'(x) = (x\sin(2x))' + (\sqrt{2-3x})'$.

1. Первое слагаемое — произведение, находим его производную по правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$(x\sin(2x))' = (x)'\sin(2x) + x(\sin(2x))' = 1 \cdot \sin(2x) + x(\cos(2x) \cdot (2x)') = \sin(2x) + x \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \sin(2x) + 2x\cos(2x)$.

2. Второе слагаемое — корень, находим его производную по правилу для сложной функции:

$(\sqrt{2-3x})' = ((2-3x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2-3x)^{-1/2} \cdot (2-3x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-3x}} \cdot (-3) = -\frac{3}{2\sqrt{2-3x}}$.

Собираем все вместе:$f'(x) = \sin(2x) + 2x\cos(2x) - \frac{3}{2\sqrt{2-3x}}$.

Ответ: $f'(x) = \sin(2x) + 2x\cos(2x) - \frac{3}{2\sqrt{2-3x}}$.