Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. Найдите значение выражения:

1) $\cos \left(\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$;

2) $\operatorname{ctg}\left(\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$;

3) $\operatorname{tg}\left(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

4) $\arccos \left(\sin \frac{27 \pi}{7}\right)$;

5) $\arcsin \left(\sin \frac{10 \pi}{3}\right)$;

6) $\arcsin(\sin 7)$;

7) $\arcsin(\cos 8)$;

8) $\arccos(\cos 12)$.

1) Найдем значение выражения $cos(arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}))$.

Пусть $α = arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. По определению арксинуса, это такой угол $α$, что $sin(α) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $α$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Единственный угол, удовлетворяющий этим условиям, это $α = -\frac{\pi}{3}$.

Тогда исходное выражение превращается в $cos(-\frac{\pi}{3})$.

Так как функция косинуса четная, $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos(-\frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Найдем значение выражения $ctg(arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}))$.

Пусть $α = arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. По определению арккосинуса, это такой угол $α$, что $cos(α) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $α$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Единственный угол, удовлетворяющий этим условиям, это $α = \frac{3\pi}{4}$.

Тогда исходное выражение превращается в $ctg(\frac{3\pi}{4})$.

Значение котангенса для этого угла: $ctg(\frac{3\pi}{4}) = \frac{cos(\frac{3\pi}{4})}{sin(\frac{3\pi}{4})} = \frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = -1$.

Ответ: $-1$

3) Найдем значение выражения $tg(arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}))$.

Пусть $α = arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. По определению арккосинуса, это такой угол $α$, что $cos(α) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $α$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Единственный угол, удовлетворяющий этим условиям, это $α = \frac{\pi}{6}$.

Тогда исходное выражение превращается в $tg(\frac{\pi}{6})$.

Значение тангенса для этого угла: $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

4) Найдем значение выражения $arccos(sin(\frac{27\pi}{7}))$.

Область значений арккосинуса — отрезок $[0, \pi]$. Сначала упростим аргумент. Используем периодичность синуса и формулы приведения.

$\frac{27\pi}{7} = \frac{28\pi - \pi}{7} = 4\pi - \frac{\pi}{7}$.

$sin(\frac{27\pi}{7}) = sin(4\pi - \frac{\pi}{7}) = sin(-\frac{\pi}{7}) = -sin(\frac{\pi}{7})$.

Выражение принимает вид $arccos(-sin(\frac{\pi}{7}))$.

Используем формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Получаем $\pi - arccos(sin(\frac{\pi}{7}))$.

Теперь используем формулу приведения для обратных функций $arccos(x) = \frac{\pi}{2} - arcsin(x)$. Получаем $\pi - (\frac{\pi}{2} - arcsin(sin(\frac{\pi}{7})))$.

Так как $\frac{\pi}{7}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.

Подставляем и вычисляем: $\pi - (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \pi - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{7} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{7} = \frac{7\pi + 2\pi}{14} = \frac{9\pi}{14}$.

Ответ: $\frac{9\pi}{14}$

5) Найдем значение выражения $arcsin(sin(\frac{10\pi}{3}))$.

Область значений арксинуса — отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Угол $\frac{10\pi}{3}$ не входит в этот отрезок.

Найдем угол $α$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $sin(\frac{10\pi}{3})$.

$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$.

$sin(\frac{10\pi}{3}) = sin(3\pi + \frac{\pi}{3}) = sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3})$.

Теперь ищем $α \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ такой, что $sin(α) = -sin(\frac{\pi}{3})$.

Известно, что $sin(-x) = -sin(x)$. Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $arcsin(sin(\frac{10\pi}{3})) = arcsin(sin(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

6) Найдем значение выражения $arcsin(sin(7))$.

Область значений арксинуса — отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем отрезок примерно $[-1.57, 1.57]$. Число $7$ не принадлежит этому отрезку.

Нам нужно найти такой угол $α \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(α) = sin(7)$.

Известно, что $sin(x) = sin(x - 2k\pi)$ для любого целого $k$. Найдем такое целое $k$, чтобы $7 - 2k\pi$ попало в нужный отрезок.

$2\pi \approx 6.28$. При $k=1$, получаем $7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72$. Этот угол принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$.

Таким образом, $sin(7) = sin(7 - 2\pi)$, и так как $7-2\pi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(7)) = 7-2\pi$.

Ответ: $7 - 2\pi$

7) Найдем значение выражения $arcsin(cos(8))$.

Используем формулу приведения $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Выражение принимает вид $arcsin(sin(\frac{\pi}{2} - 8))$.

Область значений арксинуса — отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Проверим, принадлежит ли ему аргумент $\frac{\pi}{2} - 8$.

$\frac{\pi}{2} - 8 \approx 1.57 - 8 = -6.43$. Это значение не входит в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Найдем такой угол $α \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $sin(α) = sin(\frac{\pi}{2} - 8)$.

Используем свойство периодичности $sin(x) = sin(x + 2k\pi)$. Найдем целое $k$, чтобы $α = \frac{\pi}{2} - 8 + 2k\pi$ попало в нужный отрезок.

При $k=1$: $α = \frac{\pi}{2} - 8 + 2\pi = \frac{5\pi}{2} - 8$.

Проверим значение: $\frac{5\pi}{2} - 8 \approx \frac{5 \cdot 3.14}{2} - 8 = 7.85 - 8 = -0.15$.

Значение $-0.15$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$.

Следовательно, $arcsin(cos(8)) = \frac{5\pi}{2} - 8$.

Ответ: $\frac{5\pi}{2} - 8$

8) Найдем значение выражения $arccos(cos(12))$.

Область значений арккосинуса — отрезок $[0, \pi]$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем отрезок $[0, 3.14]$. Число $12$ не принадлежит этому отрезку.

Нам нужно найти такой угол $α \in [0, \pi]$, для которого $cos(α) = cos(12)$.

Известно, что $cos(x) = cos(-x)$ и $cos(x) = cos(x + 2k\pi)$. Объединяя, получаем $cos(x) = cos(\pm x + 2k\pi)$.

Проверим вариант $α = -12 + 2k\pi$. Найдем такое целое $k$, чтобы $α$ попало в отрезок $[0, \pi]$.

$4\pi \approx 4 \cdot 3.1416 = 12.5664$. При $k=2$, получаем $α = -12 + 4\pi$.

Значение $4\pi - 12 \approx 12.5664 - 12 = 0.5664$. Это значение принадлежит отрезку $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$.

Таким образом, $cos(12) = cos(-12) = cos(-12 + 4\pi)$, и так как $4\pi - 12 \in [0, \pi]$, то $arccos(cos(12)) = 4\pi - 12$.

Ответ: $4\pi - 12$