Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4. Найдите значение углового коэффициента касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $y = 1 - \frac{2x + 1}{x - 1}$, $x_0 = 2$;

2) $y = 3 + \frac{x}{x + 1} + \sqrt{3 - x}$, $x_0 = 2$.

1) Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

Дана функция $y = 1 - \frac{2x+1}{x-1}$ и точка $x_0 = 2$.

Сначала найдем производную функции $f'(x)$.

$f'(x) = \left(1 - \frac{2x+1}{x-1}\right)'$.

Производная константы равна нулю, а для дроби используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = 0 - \frac{(2x+1)'(x-1) - (2x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = -\frac{2(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2}$.

$f'(x) = -\frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = -\frac{-3}{(x-1)^2} = \frac{3}{(x-1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$, чтобы найти угловой коэффициент $k$.

$k = f'(2) = \frac{3}{(2-1)^2} = \frac{3}{1^2} = 3$.

Ответ: 3.

2) Дана функция $y = 3 + \frac{x}{x+1} + \sqrt{3-x}$ и точка $x_0 = 2$.

Найдем производную функции $f'(x)$. Производная является суммой производных каждого слагаемого:

$f'(x) = (3)' + \left(\frac{x}{x+1}\right)' + (\sqrt{3-x})'$.

Вычислим производную каждого слагаемого по отдельности.

$(3)' = 0$.

Для второго слагаемого используем правило частного:

$\left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

Для третьего слагаемого $(\sqrt{3-x})'$ используем правило дифференцирования сложной функции, представив корень как степень $1/2$:

$(\sqrt{3-x})' = ((3-x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3-x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (3-x)' = \frac{1}{2}(3-x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

Соберем все части производной вместе:

$f'(x) = 0 + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

Теперь вычислим значение углового коэффициента $k$ в точке $x_0 = 2$.

$k = f'(2) = \frac{1}{(2+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3-2}} = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$k = \frac{2}{18} - \frac{9}{18} = -\frac{7}{18}$.

Ответ: $-\frac{7}{18}$.