Номер 3, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3. Найдите значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = 3\sqrt{2x} - \frac{5}{x} + 3x - 2$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = (3x + 4)^2 + \frac{6}{x + 1}$, $x_0 = -2$;

3) $f(x) = \sin(3x - 2\pi) + 3\pi$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

4) $f(x) = \cos(2x - \pi) - 2\pi$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

1) Дана функция $f(x) = 3\sqrt{2x} - \frac{5}{x} + 3x - 2$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения значения производной $f'(x)$ в точке $x_0$, сначала найдем саму производную. Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования, используя степенные представления: $f(x) = 3(2x)^{1/2} - 5x^{-1} + 3x - 2$.

Теперь найдем производную, используя правила дифференцирования:

• Производная сложной функции (для $3\sqrt{2x}$): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.
• Производная суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.
• Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$.

$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot (2x)' - 5 \cdot (-1)x^{-2} + 3 - 0$

$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 + 5x^{-2} + 3$

$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{2x}} + \frac{5}{x^2} + 3$

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = \frac{3}{\sqrt{2 \cdot 1}} + \frac{5}{1^2} + 3 = \frac{3}{\sqrt{2}} + 5 + 3 = 8 + \frac{3}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$f'(1) = 8 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $8 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = (3x + 4)^2 + \frac{6}{x + 1}$ и точка $x_0 = -2$.

Найдем производную функции $f(x)$.

Производная первого слагаемого $(3x + 4)^2$ находится по правилу дифференцирования сложной функции: $((3x + 4)^2)' = 2(3x + 4)^1 \cdot (3x + 4)' = 2(3x + 4) \cdot 3 = 6(3x + 4) = 18x + 24$.

Производная второго слагаемого $\frac{6}{x + 1} = 6(x+1)^{-1}$ находится по правилу дифференцирования степенной функции: $(\frac{6}{x + 1})' = (6(x+1)^{-1})' = 6 \cdot (-1)(x+1)^{-2} \cdot (x+1)' = -6(x+1)^{-2} = -\frac{6}{(x+1)^2}$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = 18x + 24 - \frac{6}{(x+1)^2}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 18(-2) + 24 - \frac{6}{(-2 + 1)^2} = -36 + 24 - \frac{6}{(-1)^2} = -12 - \frac{6}{1} = -12 - 6 = -18$.

Ответ: -18.

3) Дана функция $f(x) = \sin(3x - 2\pi) + 3\pi$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции $f(x)$.

Первое слагаемое $\sin(3x - 2\pi)$ является сложной функцией. Его производная: $(\sin(3x - 2\pi))' = \cos(3x - 2\pi) \cdot (3x - 2\pi)' = \cos(3x - 2\pi) \cdot 3 = 3\cos(3x - 2\pi)$.

Второе слагаемое $3\pi$ является константой, поэтому его производная равна нулю.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = 3\cos(3x - 2\pi)$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3} - 2\pi) = 3\cos(\pi - 2\pi) = 3\cos(-\pi)$.

Поскольку косинус — четная функция ($\cos(-a) = \cos(a)$), и $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(\pi) = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: -3.

4) Дана функция $f(x) = \cos(2x - \pi) - 2\pi$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдем производную функции $f(x)$.

Первое слагаемое $\cos(2x - \pi)$ является сложной функцией. Его производная: $(\cos(2x - \pi))' = -\sin(2x - \pi) \cdot (2x - \pi)' = -\sin(2x - \pi) \cdot 2 = -2\sin(2x - \pi)$.

Второе слагаемое $-2\pi$ является константой, его производная равна нулю.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = -2\sin(2x - \pi)$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi) = -2\sin(\frac{\pi}{2} - \pi) = -2\sin(-\frac{\pi}{2})$.

Поскольку синус — нечетная функция ($\sin(-a) = -\sin(a)$), и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{2})) = -2 \cdot (-1) = 2$.

Ответ: 2.