Номер 10, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $f'(x) < 0$, если:

1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$;

2) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$;

3) $f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x$;

4) $f(x) = x^2 + 4x - 5$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$.

Чтобы найти интервалы, на которых производная отрицательна, сначала найдем саму производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 2)' = 3x^2 - 3 \cdot 2x^1 - 0 = 3x^2 - 6x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 6x < 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 2) < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $3x(x - 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции отрицательны между ее корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(0, 2)$.

Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Единственное целое число в интервале $(0, 2)$ — это 1.

Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 6x)' = 3x^2 - 6x - 6$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 6x - 6 < 0$

Для упрощения разделим обе части неравенства на 3:

$x^2 - 2x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Итак, корни $x_1 = 1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{3}$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$.

Оценим значения корней: $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732$

$1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732$

Таким образом, искомый интервал примерно $(-0.732, 2.732)$. Целые числа, попадающие в этот интервал: 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

3) Дана функция $f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^3 + x^2 - 4x)' = 2 \cdot 3x^2 + 2x - 4 = 6x^2 + 2x - 4$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$6x^2 + 2x - 4 < 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$3x^2 + x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$ через дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 + x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1, \frac{2}{3})$.

В этом интервале находится только одно целое число — 0. Следовательно, это и есть наибольшее целое число.

Ответ: 0

4) Дана функция $f(x) = x^2 + 4x - 5$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + 4x - 5)' = 2x + 4$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x + 4 < 0$

Это линейное неравенство. Перенесем 4 в правую часть:

$2x < -4$

Разделим обе части на 2:

$x < -2$

Решением неравенства является интервал $(-\infty, -2)$.

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше -2. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это ..., -5, -4, -3. Наибольшим из них является -3.

Ответ: -3