Номер 8, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8. Найдите значение второй производной функции $f(x) = 3x + \sqrt{1 + x^2}$ при $x = 2$.

Для того чтобы найти значение второй производной функции $f(x) = 3x + \sqrt{1 + x^2}$ в точке $x = 2$, необходимо последовательно найти ее первую и вторую производные.

1. Нахождение первой производной $f'(x)$

Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) для слагаемого $\sqrt{1 + x^2}$.

$f'(x) = (3x + \sqrt{1 + x^2})' = (3x)' + (\sqrt{1 + x^2})'$

Производная первого слагаемого: $(3x)' = 3$.

Производная второго слагаемого: $(\sqrt{1 + x^2})' = ((1 + x^2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{1/2 - 1} \cdot (1 + x^2)' = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

Таким образом, первая производная равна:$f'(x) = 3 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

2. Нахождение второй производной $f''(x)$

Теперь дифференцируем полученную первую производную. Производная константы 3 равна нулю. Для дифференцирования дроби $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = x$ и $v = \sqrt{1 + x^2}$.

$u' = (x)' = 1$.

$v' = (\sqrt{1 + x^2})' = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

$f''(x) = (3)' + \left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)' = 0 + \frac{(x)' \cdot \sqrt{1 + x^2} - x \cdot (\sqrt{1 + x^2})'}{(\sqrt{1 + x^2})^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{1 + x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2}$.

Упростим числитель, приведя его к общему знаменателю $\sqrt{1 + x^2}$:$f''(x) = \frac{\frac{(\sqrt{1 + x^2})^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} = \frac{\frac{1 + x^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} = \frac{1}{(1 + x^2)\sqrt{1 + x^2}}$.

Это выражение можно записать в виде степени: $f''(x) = (1 + x^2)^{-3/2}$.

3. Вычисление значения $f''(2)$

Подставим значение $x = 2$ в полученное выражение для второй производной:$f''(2) = \frac{1}{(1 + 2^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1 + 4)^{3/2}} = \frac{1}{5^{3/2}}$.

Значение $5^{3/2}$ равно $\sqrt{5^3} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

Следовательно, $f''(2) = \frac{1}{5\sqrt{5}}$.

Ответ: $\frac{1}{5\sqrt{5}}$