Номер 18, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x)$:

1) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$

2) $f(x) = \frac{3x}{x^2-9}$

3) $f(x) = \frac{x}{25-x^2}$

4) $f(x) = \frac{x^2-9}{x^2-4}$

1) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти ее производную и исследовать ее знак.

1. Находим область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{2x}{x+1}\right)' = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

3. Определяем знак производной. Числитель производной равен $2$, что является положительным числом. Знаменатель $(x+1)^2$ также всегда положителен для любого $x$ из области определения функции. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

4. Так как производная функции положительна на всей области ее определения, функция возрастает на каждом из промежутков, входящих в область определения. Промежутков убывания у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$; промежутков убывания нет.

2) $f(x) = \frac{3x}{x^2-9}$

1. Область определения функции: $x^2-9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq -3$ и $x \neq 3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{3x}{x^2-9}\right)' = \frac{(3x)'(x^2-9) - 3x(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{3(x^2-9) - 3x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{3x^2-27-6x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{-3x^2-27}{(x^2-9)^2} = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.

3. Определяем знак производной. В числителе выражение $x^2+9$ всегда положительно, поэтому числитель $-3(x^2+9)$ всегда отрицателен. Знаменатель $(x^2-9)^2$ всегда положителен на области определения. Таким образом, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из $D(f)$.

4. Поскольку производная функции отрицательна на всей области ее определения, функция убывает на каждом из промежутков, входящих в область определения. Промежутков возрастания нет.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$; промежутков возрастания нет.

3) $f(x) = \frac{x}{25-x^2}$

1. Область определения функции: $25-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 25$, откуда $x \neq -5$ и $x \neq 5$. Область определения $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x}{25-x^2}\right)' = \frac{(x)'(25-x^2) - x(25-x^2)'}{(25-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (25-x^2) - x(-2x)}{(25-x^2)^2} = \frac{25-x^2+2x^2}{(25-x^2)^2} = \frac{x^2+25}{(25-x^2)^2}$.

3. Определяем знак производной. Числитель $x^2+25$ всегда положителен. Знаменатель $(25-x^2)^2$ также всегда положителен для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

4. Так как производная функции положительна на всей области ее определения, функция возрастает на каждом из промежутков, входящих в область определения. Промежутков убывания нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; +\infty)$; промежутков убывания нет.

4) $f(x) = \frac{x^2-9}{x^2-4}$

1. Область определения функции: $x^2-4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4$, откуда $x \neq -2$ и $x \neq 2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x^2-9}{x^2-4}\right)' = \frac{(x^2-9)'(x^2-4) - (x^2-9)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3-8x - (2x^3-18x)}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.

3. Находим критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies 10x=0 \implies x=0$. Производная не определена в точках $x=-2$ и $x=2$, которые являются точками разрыва функции. Эти точки делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

4. Определяем знак производной $f'(x) = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$. Знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен на $D(f)$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $10x$.

- При $x < 0$ (на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$), $10x < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$ и функция убывает.

- При $x > 0$ (на промежутках $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$), $10x > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. Записываем промежутки монотонности. Точку $x=0$, в которой производная равна нулю и функция непрерывна, включаем в промежутки.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 2)$ и $(2; +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$.