Номер 29, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

29. На графике функции $y = 0.5x^2$ найдите координаты точки K, ближайшей к точке $M(0; 3)$.

Пусть искомая точка K, лежащая на графике функции $y = 0,5x^2$, имеет координаты $(x; 0,5x^2)$. Точка M имеет координаты (0; 3).

Задача состоит в том, чтобы найти такое значение $x$, при котором расстояние между точками K и M будет минимальным. Квадрат расстояния $d^2$ между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Минимизация расстояния эквивалентна минимизации его квадрата, что позволяет избежать работы с квадратными корнями.

Составим функцию квадрата расстояния между точками K$(x; 0,5x^2)$ и M$(0; 3)$:

$f(x) = (x - 0)^2 + (0,5x^2 - 3)^2$

Упростим это выражение:

$f(x) = x^2 + (0,5x^2)^2 - 2 \cdot 0,5x^2 \cdot 3 + 3^2$

$f(x) = x^2 + 0,25x^4 - 3x^2 + 9$

$f(x) = 0,25x^4 - 2x^2 + 9$

Чтобы найти точки экстремума (минимума или максимума) этой функции, найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю:

$f'(x) = (0,25x^4 - 2x^2 + 9)' = 0,25 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x$

Приравняем производную к нулю:

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Критические точки функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Чтобы определить, в каких из этих точек достигается минимум, воспользуемся второй производной:

$f''(x) = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

• При $x = 0$: $f''(0) = 3(0)^2 - 4 = -4$. Так как $f''(0) < 0$, в этой точке достигается локальный максимум.
• При $x = 2$: $f''(2) = 3(2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$. Так как $f''(2) > 0$, в этой точке достигается локальный минимум.
• При $x = -2$: $f''(-2) = 3(-2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$. Так как $f''(-2) > 0$, в этой точке также достигается локальный минимум.

Следовательно, расстояние от точки M до графика функции минимально в двух точках, абсциссы которых равны $x = 2$ и $x = -2$.

Теперь найдем ординаты этих точек, подставив значения $x$ в уравнение функции $y = 0,5x^2$:

При $x = 2$: $y = 0,5 \cdot (2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$. Координаты первой точки: (2; 2).

При $x = -2$: $y = 0,5 \cdot (-2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$. Координаты второй точки: (-2; 2).

Таким образом, на графике есть две точки, ближайшие к точке M.

Ответ: (2; 2) и (-2; 2).