Номер 36, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

36. Решите симметрическое уравнение:

1) $y^4 + 2y^3 - y^2 + 2y + 1 = 0;$

2) $3y^4 - 2y^3 + 4y^2 - 4y + 12 = 0.$

1) $y^4 + 2y^3 - y^2 + 2y + 1 = 0$

Это симметрическое уравнение четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны ($1$ и $1$, $2$ и $2$).

Заметим, что $y=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем $1 = 0$, что неверно. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $y^2 \ne 0$:

$y^2 + 2y - 1 + \frac{2}{y} + \frac{1}{y^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^2 + \frac{1}{y^2}) + (2y + \frac{2}{y}) - 1 = 0$

$(y^2 + \frac{1}{y^2}) + 2(y + \frac{1}{y}) - 1 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = y + \frac{1}{y}$.

Возведем обе части замены в квадрат, чтобы выразить $y^2 + \frac{1}{y^2}$:

$t^2 = (y + \frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$

Отсюда $y^2 + \frac{1}{y^2} = t^2 - 2$.

Подставим выражения с $t$ в преобразованное уравнение:

$(t^2 - 2) + 2t - 1 = 0$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, его корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = -3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 1$

$y + \frac{1}{y} = 1$

Умножим на $y$ (мы уже установили, что $y \ne 0$):

$y^2 + 1 = y$

$y^2 - y + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $t = -3$

$y + \frac{1}{y} = -3$

$y^2 + 1 = -3y$

$y^2 + 3y + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, y_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

2) $3y^4 - 2y^3 + 4y^2 - 4y + 12 = 0$

Данное уравнение является обобщенным симметрическим (квазисимметрическим) уравнением вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + kbx + k^2a = 0$.

В нашем случае коэффициенты: $a=3$, $b=-2$, $c=4$, $d=-4$, $e=12$.

Проверим соотношения для коэффициентов. Найдем $k^2$ из соотношения $e = k^2a$:

$12 = k^2 \cdot 3 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2$.

Теперь проверим второе соотношение $d = kb$ для найденных $k$.

При $k=2$: $k \cdot b = 2 \cdot (-2) = -4$, что совпадает с коэффициентом $d$.

Следовательно, это квазисимметрическое уравнение с параметром $k=2$.

$y=0$ не является корнем ($12 \ne 0$), поэтому разделим уравнение на $y^2$:

$3y^2 - 2y + 4 - \frac{4}{y} + \frac{12}{y^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(3y^2 + \frac{12}{y^2}) - (2y + \frac{4}{y}) + 4 = 0$

$3(y^2 + \frac{4}{y^2}) - 2(y + \frac{2}{y}) + 4 = 0$

Введем замену $t = y + \frac{2}{y}$.

Тогда $t^2 = (y + \frac{2}{y})^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{2}{y} + \frac{4}{y^2} = y^2 + 4 + \frac{4}{y^2}$.

Отсюда $y^2 + \frac{4}{y^2} = t^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$3(t^2 - 4) - 2t + 4 = 0$

$3t^2 - 12 - 2t + 4 = 0$

$3t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$.

Дискриминант $D_t = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.

$t_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 10}{6}$.

$t_1 = \frac{2+10}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$t_2 = \frac{2-10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 2$

$y + \frac{2}{y} = 2$

$y^2 + 2 = 2y$

$y^2 - 2y + 2 = 0$

Дискриминант $D_y = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D_y < 0$, действительных корней нет.

Случай 2: $t = -\frac{4}{3}$

$y + \frac{2}{y} = -\frac{4}{3}$

Умножим на $3y$:

$3y^2 + 6 = -4y$

$3y^2 + 4y + 6 = 0$

Дискриминант $D_y = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 16 - 72 = -56$. Так как $D_y < 0$, действительных корней нет.

Поскольку ни в одном из случаев действительных корней не найдено, исходное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: действительных корней нет.