Номер 41, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

41. Среди 200 лотерейных билетов есть 10 выигрышных.

1) Найдите вероятность того, что три наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

2) Найдите вероятность того, что из двух наудачу выбранных билетов только один окажется выигрышным.

1) Найдите вероятность того, что три наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

В лотерее всего 200 билетов. Нам нужно найти общее число способов выбрать 3 билета из 200. Это число сочетаний из 200 по 3, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов $n$ равно:

$n = C_{200}^3 = \frac{200!}{3!(200-3)!} = \frac{200 \cdot 199 \cdot 198}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 100 \cdot 199 \cdot 66 = 1313400$.

Событие, вероятность которого мы ищем, — это выбор трех выигрышных билетов. Всего выигрышных билетов 10. Число благоприятных исходов $m$ — это количество способов выбрать 3 выигрышных билета из 10:

$m = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Теперь можем рассчитать вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{120}{1313400} = \frac{12}{131340} = \frac{1}{10945}$.

Ответ: $\frac{1}{10945}$.

2) Найдите вероятность того, что из двух наудачу выбранных билетов только один окажется выигрышным.

В этом случае нам нужно найти вероятность того, что из двух выбранных билетов один будет выигрышным, а второй — безвыигрышным. Количество безвыигрышных билетов составляет $200 - 10 = 190$.

Сначала определим общее число способов выбрать 2 билета из 200:

$n = C_{200}^2 = \frac{200!}{2!(200-2)!} = \frac{200 \cdot 199}{2} = 100 \cdot 199 = 19900$.

Число благоприятных исходов $m$ — это количество способов выбрать 1 выигрышный билет из 10 И 1 безвыигрышный билет из 190. По правилу произведения в комбинаторике, это число равно:

$m = C_{10}^1 \cdot C_{190}^1 = \frac{10!}{1!9!} \cdot \frac{190!}{1!189!} = 10 \cdot 190 = 1900$.

Теперь находим искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1900}{19900} = \frac{19}{199}$.

Ответ: $\frac{19}{199}$.