Номер 38, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

38. Найдите корни уравнения:

1) $A_{2x+1}^x : A_{2x}^{x-1} = 31;$

2) $C_x^2 : A_x^3 = \frac{1}{24};$

1) $A_{2x+1}^x : A_{2x}^{x-1} = 31$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для выражений $A_n^k$ должны выполняться условия: $n, k$ — целые неотрицательные числа и $n \ge k$.

Для $A_{2x+1}^x$ имеем:

1. $x \ge 0$

2. $2x+1 \ge x \implies x \ge -1$

Для $A_{2x}^{x-1}$ имеем:

1. $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

2. $2x \ge x-1 \implies x \ge -1$

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должно быть целым числом и $x \ge 1$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Запишем отношение как дробь:

$\frac{A_{2x+1}^x}{A_{2x}^{x-1}} = 31$

Применим формулу размещений к числителю и знаменателю:

$A_{2x+1}^x = \frac{(2x+1)!}{(2x+1-x)!} = \frac{(2x+1)!}{(x+1)!}$

$A_{2x}^{x-1} = \frac{(2x)!}{(2x-(x-1))!} = \frac{(2x)!}{(2x-x+1)!} = \frac{(2x)!}{(x+1)!}$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$\frac{\frac{(2x+1)!}{(x+1)!}}{\frac{(2x)!}{(x+1)!}} = 31$

Сократим дробь на общий множитель $\frac{1}{(x+1)!}$:

$\frac{(2x+1)!}{(2x)!} = 31$

Воспользуемся свойством факториала $n! = n \cdot (n-1)!$. Для числителя это будет $(2x+1)! = (2x+1) \cdot (2x)!$.

$\frac{(2x+1) \cdot (2x)!}{(2x)!} = 31$

Сократим на $(2x)!$:

$2x+1 = 31$

$2x = 30$

$x = 15$

Найденный корень $x=15$ удовлетворяет ОДЗ ($15 \ge 1$).

Ответ: 15

2) $C_x^2 : A_x^3 = \frac{1}{24}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Определим ОДЗ.

Для $C_x^2$ необходимо выполнение условий: $x$ — целое, $x \ge 2$.

Для $A_x^3$ необходимо выполнение условий: $x$ — целое, $x \ge 3$.

Общая ОДЗ: $x$ — целое число и $x \ge 3$.

Запишем уравнение в виде дроби:

$\frac{C_x^2}{A_x^3} = \frac{1}{24}$

Распишем числитель и знаменатель по формулам:

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

$A_x^3 = \frac{x!}{(x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!} = x(x-1)(x-2)$

Подставим в уравнение:

$\frac{\frac{x(x-1)}{2}}{x(x-1)(x-2)} = \frac{1}{24}$

Упростим левую часть:

$\frac{x(x-1)}{2 \cdot x(x-1)(x-2)} = \frac{1}{24}$

Согласно ОДЗ, $x \ge 3$, поэтому $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Значит, мы можем сократить дробь на $x(x-1)$:

$\frac{1}{2(x-2)} = \frac{1}{24}$

Из равенства дробей следует равенство их знаменателей:

$2(x-2) = 24$

$x-2 = 12$

$x = 14$

Найденный корень $x=14$ удовлетворяет ОДЗ ($14 \ge 3$).

Ответ: 14