Номер 33, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

33. При каких значениях $a$ и $c$ равны многочлены $P(y)$ и $K(y):$

1) $P(y) = 2y^3 - 5y^2 + (a - c)y - 11$, $K(y) = 2y^3 + (a + c)y^2 + 3y - 11$;

2) $P(y) = y^3 + 10y^2 + 3y + a - 3c$, $K(y) = y^3 + (a + 2c)y^2 + 3y - 5$?

1) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравним коэффициенты многочленов $P(y) = 2y^3 - 5y^2 + (a - c)y - 11$ и $K(y) = 2y^3 + (a + c)y^2 + 3y - 11$.

Для равенства $P(y) = K(y)$ должны выполняться следующие условия:

• При $y^3$: $2 = 2$ (верно).
• При $y^2$: $-5 = a + c$.
• При $y^1$: $a - c = 3$.
• При $y^0$ (свободный член): $-11 = -11$ (верно).

Для нахождения значений $a$ и $c$ решим систему двух линейных уравнений:

$\begin{cases} a + c = -5 \\ a - c = 3 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(a + c) + (a - c) = -5 + 3$

$2a = -2$

$a = -1$

Теперь подставим найденное значение $a = -1$ в первое уравнение системы:

$-1 + c = -5$

$c = -5 + 1$

$c = -4$

Проверим найденные значения, подставив их во второе уравнение: $-1 - (-4) = -1 + 4 = 3$. Равенство верно.

Ответ: $a = -1$, $c = -4$.

2) Аналогично, сравним коэффициенты многочленов $P(y) = y^3 + 10y^2 + 3y + a - 3c$ и $K(y) = y^3 + (a + 2c)y^2 + 3y - 5$.

Для равенства $P(y) = K(y)$ должны выполняться следующие условия:

• При $y^3$: $1 = 1$ (верно).
• При $y^2$: $10 = a + 2c$.
• При $y^1$: $3 = 3$ (верно).
• При $y^0$ (свободный член): $a - 3c = -5$.

Решим систему уравнений для нахождения $a$ и $c$:

$\begin{cases} a + 2c = 10 \\ a - 3c = -5 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(a + 2c) - (a - 3c) = 10 - (-5)$

$a + 2c - a + 3c = 10 + 5$

$5c = 15$

$c = 3$

Подставим найденное значение $c = 3$ в первое уравнение системы:

$a + 2 \cdot 3 = 10$

$a + 6 = 10$

$a = 10 - 6$

$a = 4$

Проверим найденные значения, подставив их во второе уравнение: $4 - 3 \cdot 3 = 4 - 9 = -5$. Равенство верно.

Ответ: $a = 4$, $c = 3$.