Номер 30, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

30. Найдите все значения параметра $a$, при которых тождественно равны многочлены $f(z)$ и $h(z):$

1) $f(z) = (a^2 - 2)z^3 - 2z^2 + (2a + 1)z - 4$ и $h(z) = 2z^3 - 2z^2 + (a - 1)z - a - 6;$

2) $f(z) = (a^2 - 2a)z^4 - 2z^2 + (3a - 2)z - 4 + a$ и $h(z) = -z^4 - 2z^2 + (2a - 1)z - a - 2.$

1) Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравним коэффициенты многочленов $f(z) = (a^2 - 2)z^3 - 2z^2 + (2a + 1)z - 4$ и $h(z) = 2z^3 - 2z^2 + (a - 1)z - a - 6$.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 - 2 = 2 & \text{(коэффициенты при } z^3\text{)} \\ -2 = -2 & \text{(коэффициенты при } z^2\text{)} \\ 2a + 1 = a - 1 & \text{(коэффициенты при } z\text{)} \\ -4 = -a - 6 & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Второе уравнение, $-2 = -2$, является тождеством и выполняется при любом значении $a$. Решим остальные три уравнения, чтобы найти значение $a$, удовлетворяющее всей системе.

Из первого уравнения $a^2 - 2 = 2$ следует, что $a^2 = 4$, откуда получаем два возможных решения: $a = 2$ и $a = -2$.

Из третьего уравнения $2a + 1 = a - 1$ следует, что $2a - a = -1 - 1$, откуда $a = -2$.

Из четвертого уравнения $-4 = -a - 6$ следует, что $a = -6 + 4$, откуда $a = -2$.

Единственное значение $a$, которое является решением всех трех уравнений, это $a = -2$.

Ответ: $a = -2$.

2) Аналогично, сравним коэффициенты многочленов $f(z) = (a^2 - 2a)z^4 - 2z^2 + (3a - 2)z - 4 + a$ и $h(z) = -z^4 - 2z^2 + (2a - 1)z - a - 2$.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z$, получаем следующую систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 - 2a = -1 & \text{(коэффициенты при } z^4\text{)} \\ -2 = -2 & \text{(коэффициенты при } z^2\text{)} \\ 3a - 2 = 2a - 1 & \text{(коэффициенты при } z\text{)} \\ -4 + a = -a - 2 & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Уравнение для коэффициентов при $z^2$ является тождеством. Коэффициенты при $z^3$ в обоих многочленах равны нулю. Решим оставшиеся уравнения:

Из первого уравнения $a^2 - 2a = -1$ получаем $a^2 - 2a + 1 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(a-1)^2 = 0$. Отсюда следует, что $a=1$.

Из третьего уравнения $3a - 2 = 2a - 1$ получаем $3a - 2a = -1 + 2$, откуда $a = 1$.

Из четвертого уравнения $-4 + a = -a - 2$ получаем $a + a = -2 + 4$, то есть $2a = 2$, откуда $a = 1$.

Все уравнения имеют единственное общее решение $a = 1$.

Ответ: $a = 1$.