Страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27. В равнобедренный прямоугольный треугольник с длиной катета в $4\sqrt{2}$ см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины прямоугольника лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах треугольника. Найдите значения длин сторон прямоугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты $AC = BC = 4\sqrt{2}$ см. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, его острые углы при гипотенузе равны $45^\circ$: $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 32 + 32 = 64$

$AB = \sqrt{64} = 8$ см.

В треугольник вписан прямоугольник $KLMN$ так, что вершины $K$ и $L$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $M$ и $N$ — на катетах $BC$ и $AC$ соответственно.

Обозначим стороны прямоугольника: пусть его высота $KN = LM = y$, а длина $KL = NM = x$. Площадь прямоугольника $S = x \cdot y$. Нам нужно найти значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет наибольшей.

Рассмотрим маленькие треугольники $ANK$ и $BML$, которые отсекаются прямоугольником от основного треугольника.

В треугольнике $ANK$: $\angle A = 45^\circ$, $\angle NKA = 90^\circ$ (так как $KN$ — сторона прямоугольника и перпендикулярна $AB$). Следовательно, $\angle ANK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, треугольник $ANK$ — равнобедренный, и $AK = KN = y$.

Аналогично, в треугольнике $BML$: $\angle B = 45^\circ$, $\angle MLB = 90^\circ$. Следовательно, $\angle BML = 45^\circ$. Треугольник $BML$ — равнобедренный, и $BL = LM = y$.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AK$, $KL$ и $LB$.

$AB = AK + KL + LB$

Подставим известные значения и переменные:

$8 = y + x + y$

$8 = x + 2y$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 8 - 2y$

Теперь запишем формулу площади прямоугольника как функцию от одной переменной $y$:

$S(y) = x \cdot y = (8 - 2y) \cdot y = 8y - 2y^2$.

Эта функция является квадратичной параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $y^2$ отрицательный). Своё наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координата вершины параболы $S(y) = ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_0 = -b / (2a)$. В нашем случае $a = -2$, $b = 8$.

$y = - \frac{8}{2 \cdot (-2)} = - \frac{8}{-4} = 2$.

Таким образом, высота прямоугольника равна 2 см.

Теперь найдем длину второй стороны прямоугольника $x$:

$x = 8 - 2y = 8 - 2 \cdot 2 = 8 - 4 = 4$.

Длина прямоугольника равна 4 см.

Значения длин сторон прямоугольника наибольшей площади равны 2 см и 4 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2 см и 4 см.

28. 1) Число 484 представьте в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы значение их суммы было наибольшим.

2) Значение суммы двух положительных чисел равно 98. Найдите эти числа, если их произведение принимает наибольшее значение.

1) Пусть два положительных числа это $x$ и $y$. По условию, их произведение равно 484, то есть $xy = 484$. Требуется найти такие $x$ и $y$, чтобы их сумма $S = x + y$ была наибольшей.

Выразим $y$ через $x$ из условия произведения: $y = \frac{484}{x}$.

Подставим это выражение в сумму: $S(x) = x + \frac{484}{x}$.

Если рассматривать $x$ и $y$ как любые положительные действительные числа, то функция $S(x)$ не имеет наибольшего значения. При $x$, стремящемся к нулю ($x \to 0^+$), значение $y$ будет стремиться к бесконечности ($y \to +\infty$), и их сумма $S$ также будет неограниченно возрастать. Таким образом, в области действительных чисел задача не имеет решения.

Однако, если предположить, что в задаче имеются в виду целые положительные числа, то решение существует. В этом случае $x$ и $y$ должны быть делителями числа 484. Найдем все пары таких делителей и вычислим их сумму:

$1 \times 484 = 484 \implies$ сумма $1 + 484 = 485$

$2 \times 242 = 484 \implies$ сумма $2 + 242 = 244$

$4 \times 121 = 484 \implies$ сумма $4 + 121 = 125$

$11 \times 44 = 484 \implies$ сумма $11 + 44 = 55$

$22 \times 22 = 484 \implies$ сумма $22 + 22 = 44$

Сравнивая полученные суммы, видим, что наибольшее значение равно 485. Оно достигается, когда числа равны 1 и 484.

Ответ: 1 и 484.

2) Пусть два положительных числа это $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 98: $x + y = 98$. Нам нужно найти такие $x$ и $y$, чтобы их произведение $P = xy$ было наибольшим.

Выразим $y$ через $x$ из условия суммы: $y = 98 - x$.

Подставим это выражение в произведение: $P(x) = x(98 - x) = 98x - x^2$.

Функция $P(x)$ является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (-1). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координату $x$ вершины параболы найдем по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$, где $a=-1$ и $b=98$.

$x_v = -\frac{98}{2 \cdot (-1)} = 49$.

Следовательно, одно из чисел равно 49.

Найдем второе число: $y = 98 - x = 98 - 49 = 49$.

Таким образом, чтобы произведение было наибольшим, оба числа должны быть равны 49.

Этот же результат можно получить с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$.

Подставим известную сумму: $\frac{98}{2} \ge \sqrt{P}$, или $49 \ge \sqrt{P}$.

Отсюда $P \le 49^2 = 2401$.

Максимальное значение произведения $P$ равно 2401 и достигается только при условии, что $x=y$. Так как $x+y=98$, то $2x=98$, откуда $x=y=49$.

Ответ: 49 и 49.

29. На графике функции $y = 0.5x^2$ найдите координаты точки K, ближайшей к точке $M(0; 3)$.

Пусть искомая точка K, лежащая на графике функции $y = 0,5x^2$, имеет координаты $(x; 0,5x^2)$. Точка M имеет координаты (0; 3).

Задача состоит в том, чтобы найти такое значение $x$, при котором расстояние между точками K и M будет минимальным. Квадрат расстояния $d^2$ между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Минимизация расстояния эквивалентна минимизации его квадрата, что позволяет избежать работы с квадратными корнями.

Составим функцию квадрата расстояния между точками K$(x; 0,5x^2)$ и M$(0; 3)$:

$f(x) = (x - 0)^2 + (0,5x^2 - 3)^2$

Упростим это выражение:

$f(x) = x^2 + (0,5x^2)^2 - 2 \cdot 0,5x^2 \cdot 3 + 3^2$

$f(x) = x^2 + 0,25x^4 - 3x^2 + 9$

$f(x) = 0,25x^4 - 2x^2 + 9$

Чтобы найти точки экстремума (минимума или максимума) этой функции, найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю:

$f'(x) = (0,25x^4 - 2x^2 + 9)' = 0,25 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x$

Приравняем производную к нулю:

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Критические точки функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Чтобы определить, в каких из этих точек достигается минимум, воспользуемся второй производной:

$f''(x) = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

• При $x = 0$: $f''(0) = 3(0)^2 - 4 = -4$. Так как $f''(0) < 0$, в этой точке достигается локальный максимум.
• При $x = 2$: $f''(2) = 3(2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$. Так как $f''(2) > 0$, в этой точке достигается локальный минимум.
• При $x = -2$: $f''(-2) = 3(-2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$. Так как $f''(-2) > 0$, в этой точке также достигается локальный минимум.

Следовательно, расстояние от точки M до графика функции минимально в двух точках, абсциссы которых равны $x = 2$ и $x = -2$.

Теперь найдем ординаты этих точек, подставив значения $x$ в уравнение функции $y = 0,5x^2$:

При $x = 2$: $y = 0,5 \cdot (2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$. Координаты первой точки: (2; 2).

При $x = -2$: $y = 0,5 \cdot (-2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$. Координаты второй точки: (-2; 2).

Таким образом, на графике есть две точки, ближайшие к точке M.

Ответ: (2; 2) и (-2; 2).

30. Найдите все значения параметра $a$, при которых тождественно равны многочлены $f(z)$ и $h(z):$

1) $f(z) = (a^2 - 2)z^3 - 2z^2 + (2a + 1)z - 4$ и $h(z) = 2z^3 - 2z^2 + (a - 1)z - a - 6;$

2) $f(z) = (a^2 - 2a)z^4 - 2z^2 + (3a - 2)z - 4 + a$ и $h(z) = -z^4 - 2z^2 + (2a - 1)z - a - 2.$

1) Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравним коэффициенты многочленов $f(z) = (a^2 - 2)z^3 - 2z^2 + (2a + 1)z - 4$ и $h(z) = 2z^3 - 2z^2 + (a - 1)z - a - 6$.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 - 2 = 2 & \text{(коэффициенты при } z^3\text{)} \\ -2 = -2 & \text{(коэффициенты при } z^2\text{)} \\ 2a + 1 = a - 1 & \text{(коэффициенты при } z\text{)} \\ -4 = -a - 6 & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Второе уравнение, $-2 = -2$, является тождеством и выполняется при любом значении $a$. Решим остальные три уравнения, чтобы найти значение $a$, удовлетворяющее всей системе.

Из первого уравнения $a^2 - 2 = 2$ следует, что $a^2 = 4$, откуда получаем два возможных решения: $a = 2$ и $a = -2$.

Из третьего уравнения $2a + 1 = a - 1$ следует, что $2a - a = -1 - 1$, откуда $a = -2$.

Из четвертого уравнения $-4 = -a - 6$ следует, что $a = -6 + 4$, откуда $a = -2$.

Единственное значение $a$, которое является решением всех трех уравнений, это $a = -2$.

Ответ: $a = -2$.

2) Аналогично, сравним коэффициенты многочленов $f(z) = (a^2 - 2a)z^4 - 2z^2 + (3a - 2)z - 4 + a$ и $h(z) = -z^4 - 2z^2 + (2a - 1)z - a - 2$.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z$, получаем следующую систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 - 2a = -1 & \text{(коэффициенты при } z^4\text{)} \\ -2 = -2 & \text{(коэффициенты при } z^2\text{)} \\ 3a - 2 = 2a - 1 & \text{(коэффициенты при } z\text{)} \\ -4 + a = -a - 2 & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Уравнение для коэффициентов при $z^2$ является тождеством. Коэффициенты при $z^3$ в обоих многочленах равны нулю. Решим оставшиеся уравнения:

Из первого уравнения $a^2 - 2a = -1$ получаем $a^2 - 2a + 1 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(a-1)^2 = 0$. Отсюда следует, что $a=1$.

Из третьего уравнения $3a - 2 = 2a - 1$ получаем $3a - 2a = -1 + 2$, откуда $a = 1$.

Из четвертого уравнения $-4 + a = -a - 2$ получаем $a + a = -2 + 4$, то есть $2a = 2$, откуда $a = 1$.

Все уравнения имеют единственное общее решение $a = 1$.

Ответ: $a = 1$.

31. Используя схему Горнера, разделите многочлен $P(x) = x^5 - 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 7$ на двучлен $x - 2$. Найдите частное и остаток.

Для того чтобы разделить многочлен $P(z) = z^5 - 2z^4 - 3z^3 + 2z^2 + 7$ на двучлен $z - 2$, мы используем схему Горнера.

Сначала необходимо выписать коэффициенты многочлена $P(z)$ в порядке убывания степеней переменной. Важно учесть, что коэффициент при $z^1$ равен нулю, так как этот член в многочлене отсутствует. Таким образом, последовательность коэффициентов для степеней $z^5, z^4, z^3, z^2, z^1, z^0$ следующая: $1, -2, -3, 2, 0, 7$.

Деление производится на двучлен вида $z - c$. В нашем случае это $z - 2$, откуда получаем $c = 2$.

Теперь составим таблицу для вычислений по схеме Горнера. В первой строке таблицы разместим коэффициенты многочлена $P(z)$. Слева, в первой ячейке, укажем значение $c=2$.

Процесс вычисления выглядит так:

1. Первый коэффициент (1) переносим в нижнюю строку без изменений.

2. Умножаем это число на $c=2$ ($1 \cdot 2 = 2$) и записываем результат под вторым коэффициентом (-2).

3. Складываем числа во втором столбце: $-2 + 2 = 0$. Результат записываем в нижнюю строку.

4. Повторяем процедуру: $0 \cdot 2 = 0$. Записываем под -3. Складываем: $-3 + 0 = -3$.

5. Продолжаем: $-3 \cdot 2 = -6$. Записываем под 2. Складываем: $2 + (-6) = -4$.

6. Далее: $-4 \cdot 2 = -8$. Записываем под 0. Складываем: $0 + (-8) = -8$.

7. Последний шаг: $-8 \cdot 2 = -16$. Записываем под 7. Складываем: $7 + (-16) = -9$.

Числа в последней строке таблицы ($1, 0, -3, -4, -8$) являются коэффициентами частного (неполного частного) $Q(z)$. Степень многочлена-частного будет на единицу меньше степени исходного многочлена, то есть $5-1=4$. Последнее число в этой строке ($-9$) является остатком от деления $R$.

Таким образом, частное от деления:

$Q(z) = 1 \cdot z^4 + 0 \cdot z^3 - 3 \cdot z^2 - 4 \cdot z - 8 = z^4 - 3z^2 - 4z - 8$.

Остаток от деления:

$R = -9$.

Ответ: частное $Q(z) = z^4 - 3z^2 - 4z - 8$, остаток $R = -9$.

32. Разложите на линейные множители многочлен:

1) $y^4 - 10y^2 + 9;$

2) $y^3 + 3y^2 - 4y - 12.$

1) Для разложения многочлена $y^4 - 10y^2 + 9$ на линейные множители, который является биквадратным, введем замену переменной. Пусть $x = y^2$. Тогда исходное выражение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $x$:

$x^2 - 10x + 9 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком ($10$), а их произведение равно свободному члену ($9$). Подбором находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 9$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a=1$:

$x^2 - 10x + 9 = (x - 1)(x - 9)$

Произведем обратную замену, подставив $y^2$ вместо $x$:

$(y^2 - 1)(y^2 - 9)$

Каждый из полученных двучленов является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^2 - 1 = y^2 - 1^2 = (y - 1)(y + 1)$

$y^2 - 9 = y^2 - 3^2 = (y - 3)(y + 3)$

Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена на линейные множители имеет вид:

$(y - 1)(y + 1)(y - 3)(y + 3)$

Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y - 3)(y + 3)$.

2) Разложим многочлен $y^3 + 3y^2 - 4y - 12$ на множители, применив метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(y^3 + 3y^2) + (-4y - 12)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $y^2$, а из второй группы вынесем $-4$:

$y^2(y + 3) - 4(y + 3)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(y + 3)$. Вынесем его за скобки:

$(y + 3)(y^2 - 4)$

Второй множитель, $(y^2 - 4)$, является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^2 - 4 = y^2 - 2^2 = (y - 2)(y + 2)$

Подставим это разложение в наше выражение и получим окончательное разложение на линейные множители:

$(y + 3)(y - 2)(y + 2)$

Ответ: $(y - 2)(y + 2)(y + 3)$.

33. При каких значениях $a$ и $c$ равны многочлены $P(y)$ и $K(y):$

1) $P(y) = 2y^3 - 5y^2 + (a - c)y - 11$, $K(y) = 2y^3 + (a + c)y^2 + 3y - 11$;

2) $P(y) = y^3 + 10y^2 + 3y + a - 3c$, $K(y) = y^3 + (a + 2c)y^2 + 3y - 5$?

1) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравним коэффициенты многочленов $P(y) = 2y^3 - 5y^2 + (a - c)y - 11$ и $K(y) = 2y^3 + (a + c)y^2 + 3y - 11$.

Для равенства $P(y) = K(y)$ должны выполняться следующие условия:

• При $y^3$: $2 = 2$ (верно).
• При $y^2$: $-5 = a + c$.
• При $y^1$: $a - c = 3$.
• При $y^0$ (свободный член): $-11 = -11$ (верно).

Для нахождения значений $a$ и $c$ решим систему двух линейных уравнений:

$\begin{cases} a + c = -5 \\ a - c = 3 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(a + c) + (a - c) = -5 + 3$

$2a = -2$

$a = -1$

Теперь подставим найденное значение $a = -1$ в первое уравнение системы:

$-1 + c = -5$

$c = -5 + 1$

$c = -4$

Проверим найденные значения, подставив их во второе уравнение: $-1 - (-4) = -1 + 4 = 3$. Равенство верно.

Ответ: $a = -1$, $c = -4$.

2) Аналогично, сравним коэффициенты многочленов $P(y) = y^3 + 10y^2 + 3y + a - 3c$ и $K(y) = y^3 + (a + 2c)y^2 + 3y - 5$.

Для равенства $P(y) = K(y)$ должны выполняться следующие условия:

• При $y^3$: $1 = 1$ (верно).
• При $y^2$: $10 = a + 2c$.
• При $y^1$: $3 = 3$ (верно).
• При $y^0$ (свободный член): $a - 3c = -5$.

Решим систему уравнений для нахождения $a$ и $c$:

$\begin{cases} a + 2c = 10 \\ a - 3c = -5 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(a + 2c) - (a - 3c) = 10 - (-5)$

$a + 2c - a + 3c = 10 + 5$

$5c = 15$

$c = 3$

Подставим найденное значение $c = 3$ в первое уравнение системы:

$a + 2 \cdot 3 = 10$

$a + 6 = 10$

$a = 10 - 6$

$a = 4$

Проверим найденные значения, подставив их во второе уравнение: $4 - 3 \cdot 3 = 4 - 9 = -5$. Равенство верно.

Ответ: $a = 4$, $c = 3$.

34. При каких значениях a многочлен Q(y) имеет корень, равный 1:

1) $Q(y) = 2y^3 - 3y^2 + 3y + 2a^2 - 3a - 7;$

2) $Q(y) = y^3 + 7y^2 - 2y + a^2 - 5a?$

Если число является корнем многочлена, то при подстановке этого числа вместо переменной значение многочлена будет равно нулю. По условию, $y=1$ является корнем многочлена $Q(y)$, следовательно, должно выполняться равенство $Q(1)=0$. Чтобы найти значения параметра $a$, при которых это условие выполняется, подставим $y=1$ в каждое из выражений и решим полученные уравнения относительно $a$.

1) Для многочлена $Q(y) = 2y^3 - 3y^2 + 3y + 2a^2 - 3a - 7$ подставим $y=1$:

$Q(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) + 2a^2 - 3a - 7 = 0$

Выполним вычисления:

$2 - 3 + 3 + 2a^2 - 3a - 7 = 0$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение относительно $a$:

$2a^2 - 3a - 5 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Теперь найдем значения $a$:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Следовательно, при $a=-1$ и $a=2.5$ многочлен имеет корень, равный 1.

Ответ: $a=-1; a=2.5$.

2) Для многочлена $Q(y) = y^3 + 7y^2 - 2y + a^2 - 5a$ проделаем ту же операцию, подставив $y=1$:

$Q(1) = (1)^3 + 7(1)^2 - 2(1) + a^2 - 5a = 0$

Выполним вычисления:

$1 + 7 - 2 + a^2 - 5a = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 5a + 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней $a_1 + a_2 = 5$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 6$. Подбором находим, что корнями являются числа 2 и 3.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Найдем значения $a$:

$a_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Следовательно, при $a=2$ и $a=3$ многочлен имеет корень, равный 1.

Ответ: $a=2; a=3$.

35. 1) Остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - 5x + 6$ равен $2x - 5$. Найдите значение $P(2) - 3P(3)$;

2) остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - x - 6$ равен $5x - 7$. Найдите значение $P(3) - 2P(-2)$.

1) Согласно теореме о делении многочлена с остатком, многочлен $P(x)$ можно представить в виде:

$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$,

где $Q(x)$ – частное, $D(x)$ – делитель, а $R(x)$ – остаток.

По условию, $D(x) = x^2 - 5x + 6$ и $R(x) = 2x - 5$. Таким образом, мы имеем:

$P(x) = Q(x) \cdot (x^2 - 5x + 6) + (2x - 5)$.

Найдем корни трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Следовательно, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Это означает, что $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Тогда равенство можно переписать как:

$P(x) = Q(x) \cdot (x - 2)(x - 3) + (2x - 5)$.

Теперь мы можем найти значения $P(2)$ и $P(3)$, подставив в это равенство $x=2$ и $x=3$.

При $x = 2$:

$P(2) = Q(2) \cdot (2 - 2)(2 - 3) + (2 \cdot 2 - 5) = Q(2) \cdot 0 \cdot (-1) + (4 - 5) = 0 - 1 = -1$.

При $x = 3$:

$P(3) = Q(3) \cdot (3 - 2)(3 - 3) + (2 \cdot 3 - 5) = Q(3) \cdot 1 \cdot 0 + (6 - 5) = 0 + 1 = 1$.

Теперь вычислим искомое значение выражения $P(2) - 3P(3)$:

$P(2) - 3P(3) = -1 - 3 \cdot 1 = -1 - 3 = -4$.

Ответ: -4

2) Аналогично первому пункту, представим многочлен $P(x)$ в виде:

$P(x) = Q(x) \cdot (x^2 - x - 6) + (5x - 7)$.

Найдем корни трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Следовательно, корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Это означает, что $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

Перепишем равенство:

$P(x) = Q(x) \cdot (x - 3)(x + 2) + (5x - 7)$.

Найдем значения $P(3)$ и $P(-2)$, подставив в это равенство $x=3$ и $x=-2$.

При $x = 3$:

$P(3) = Q(3) \cdot (3 - 3)(3 + 2) + (5 \cdot 3 - 7) = Q(3) \cdot 0 \cdot 5 + (15 - 7) = 0 + 8 = 8$.

При $x = -2$:

$P(-2) = Q(-2) \cdot (-2 - 3)(-2 + 2) + (5 \cdot (-2) - 7) = Q(-2) \cdot (-5) \cdot 0 + (-10 - 7) = 0 - 17 = -17$.

Теперь вычислим искомое значение выражения $P(3) - 2P(-2)$:

$P(3) - 2P(-2) = 8 - 2 \cdot (-17) = 8 + 34 = 42$.

Ответ: 42

36. Решите симметрическое уравнение:

1) $y^4 + 2y^3 - y^2 + 2y + 1 = 0;$

2) $3y^4 - 2y^3 + 4y^2 - 4y + 12 = 0.$

1) $y^4 + 2y^3 - y^2 + 2y + 1 = 0$

Это симметрическое уравнение четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны ($1$ и $1$, $2$ и $2$).

Заметим, что $y=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем $1 = 0$, что неверно. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $y^2 \ne 0$:

$y^2 + 2y - 1 + \frac{2}{y} + \frac{1}{y^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^2 + \frac{1}{y^2}) + (2y + \frac{2}{y}) - 1 = 0$

$(y^2 + \frac{1}{y^2}) + 2(y + \frac{1}{y}) - 1 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = y + \frac{1}{y}$.

Возведем обе части замены в квадрат, чтобы выразить $y^2 + \frac{1}{y^2}$:

$t^2 = (y + \frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$

Отсюда $y^2 + \frac{1}{y^2} = t^2 - 2$.

Подставим выражения с $t$ в преобразованное уравнение:

$(t^2 - 2) + 2t - 1 = 0$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, его корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = -3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 1$

$y + \frac{1}{y} = 1$

Умножим на $y$ (мы уже установили, что $y \ne 0$):

$y^2 + 1 = y$

$y^2 - y + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $t = -3$

$y + \frac{1}{y} = -3$

$y^2 + 1 = -3y$

$y^2 + 3y + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, y_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

2) $3y^4 - 2y^3 + 4y^2 - 4y + 12 = 0$

Данное уравнение является обобщенным симметрическим (квазисимметрическим) уравнением вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + kbx + k^2a = 0$.

В нашем случае коэффициенты: $a=3$, $b=-2$, $c=4$, $d=-4$, $e=12$.

Проверим соотношения для коэффициентов. Найдем $k^2$ из соотношения $e = k^2a$:

$12 = k^2 \cdot 3 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2$.

Теперь проверим второе соотношение $d = kb$ для найденных $k$.

При $k=2$: $k \cdot b = 2 \cdot (-2) = -4$, что совпадает с коэффициентом $d$.

Следовательно, это квазисимметрическое уравнение с параметром $k=2$.

$y=0$ не является корнем ($12 \ne 0$), поэтому разделим уравнение на $y^2$:

$3y^2 - 2y + 4 - \frac{4}{y} + \frac{12}{y^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(3y^2 + \frac{12}{y^2}) - (2y + \frac{4}{y}) + 4 = 0$

$3(y^2 + \frac{4}{y^2}) - 2(y + \frac{2}{y}) + 4 = 0$

Введем замену $t = y + \frac{2}{y}$.

Тогда $t^2 = (y + \frac{2}{y})^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{2}{y} + \frac{4}{y^2} = y^2 + 4 + \frac{4}{y^2}$.

Отсюда $y^2 + \frac{4}{y^2} = t^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$3(t^2 - 4) - 2t + 4 = 0$

$3t^2 - 12 - 2t + 4 = 0$

$3t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$.

Дискриминант $D_t = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.

$t_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 10}{6}$.

$t_1 = \frac{2+10}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$t_2 = \frac{2-10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 2$

$y + \frac{2}{y} = 2$

$y^2 + 2 = 2y$

$y^2 - 2y + 2 = 0$

Дискриминант $D_y = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D_y < 0$, действительных корней нет.

Случай 2: $t = -\frac{4}{3}$

$y + \frac{2}{y} = -\frac{4}{3}$

Умножим на $3y$:

$3y^2 + 6 = -4y$

$3y^2 + 4y + 6 = 0$

Дискриминант $D_y = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 16 - 72 = -56$. Так как $D_y < 0$, действительных корней нет.

Поскольку ни в одном из случаев действительных корней не найдено, исходное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: действительных корней нет.