Страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21. Дан график производной функции $f'(x)$ (рис. 2).

Рис. 2

Найдите точки максимума и точки минимума функции.

Для нахождения точек максимума и минимума функции $f(x)$ по графику её производной $f'(x)$, необходимо найти точки, в которых производная равна нулю и проанализировать, как меняется её знак при переходе через эти точки.

Точки, в которых производная $f'(x) = 0$, являются точками пересечения её графика с осью абсцисс ($Ox$). Из рисунка видно, что это точки $x = -3$, $x = 1$ и $x = 3$.

Точки максимума

Точка максимума — это точка, в которой функция перестает возрастать и начинает убывать. Это происходит, когда её производная $f'(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный.

Рассмотрим точку $x = 1$. Слева от этой точки график $f'(x)$ находится выше оси $Ox$, то есть $f'(x) > 0$. Справа от точки $x=1$ график находится ниже оси $Ox$, то есть $f'(x) < 0$. Таким образом, в точке $x = 1$ знак производной меняется с «+» на «−», что соответствует точке максимума функции $f(x)$.

Ответ: точка максимума $x = 1$.

Точки минимума

Точка минимума — это точка, в которой функция перестает убывать и начинает возрастать. Это происходит, когда её производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный.

Рассмотрим точку $x = -3$. Слева от этой точки график $f'(x)$ находится ниже оси $Ox$ ($f'(x) < 0$), а справа — выше оси $Ox$ ($f'(x) > 0$). Следовательно, в точке $x = -3$ знак производной меняется с «−» на «+», и это точка минимума.

Рассмотрим точку $x = 3$. Слева от этой точки график $f'(x)$ находится ниже оси $Ox$ ($f'(x) < 0$), а справа — выше оси $Ox$ ($f'(x) > 0$). Следовательно, в точке $x = 3$ знак производной также меняется с «−» на «+», и это тоже точка минимума.

Ответ: точки минимума $x = -3$ и $x = 3$.

22. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x;$

2) $y = x^3 - 3x^2 + 2;$

3) $y = 2x + \frac{2}{x};$

4) $y = \frac{4}{x} - \frac{x}{4}.$

1) Исследование функции $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x$

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = 2(-x)^3 - 9(-x)^2 + 12(-x) = -2x^3 - 9x^2 - 12x$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x=0 \implies y = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

С осью OX: $y=0 \implies 2x^3 - 9x^2 + 12x = 0 \implies x(2x^2 - 9x + 12) = 0$.

Один корень $x_1=0$. Для квадратного уравнения $2x^2 - 9x + 12 = 0$ дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 81 - 96 = -15 < 0$, действительных корней нет. Единственная точка пересечения с осями — $(0, 0)$.

4. Асимптоты. Так как функция является многочленом, вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Находим первую производную: $y' = (2x^3 - 9x^2 + 12x)' = 6x^2 - 18x + 12$.

Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек: $6x^2 - 18x + 12 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах:

- $(-\infty, 1)$: $y'(0) = 12 > 0$, функция возрастает.

- $(1, 2)$: $y'(1.5) = 6(1.5^2 - 3 \cdot 1.5 + 2) = 6(2.25 - 4.5 + 2) = -1.5 < 0$, функция убывает.

- $(2, +\infty)$: $y'(3) = 6(3^2 - 3 \cdot 3 + 2) = 12 > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с $+$ на $-$, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) = 5$. Точка максимума $(1, 5)$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с $-$ на $+$, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) = 16 - 36 + 24 = 4$. Точка минимума $(2, 4)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Находим вторую производную: $y'' = (6x^2 - 18x + 12)' = 12x - 18$.

Приравниваем вторую производную к нулю: $12x - 18 = 0 \implies x = 1.5$.

Исследуем знак второй производной:

- $(-\infty, 1.5)$: $y''(0) = -18 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

- $(1.5, +\infty)$: $y''(2) = 12(2) - 18 = 6 > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=1.5$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(1.5) = 2(1.5)^3 - 9(1.5)^2 + 12(1.5) = 6.75 - 20.25 + 18 = 4.5$. Точка перегиба $(1.5, 4.5)$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(2, \infty)$, убывает на интервале $(1, 2)$. Точка локального максимума $(1, 5)$, точка локального минимума $(2, 4)$. График является вогнутым на $(-\infty, 1.5)$ и выпуклым на $(1.5, \infty)$. Точка перегиба $(1.5, 4.5)$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.

2) Исследование функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$

1. Область определения. Функция является многочленом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2 = -x^3 - 3x^2 + 2$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x=0 \implies y = 2$. Точка пересечения $(0, 2)$.

С осью OX: $y=0 \implies x^3 - 3x^2 + 2 = 0$. Заметим, что $x=1$ является корнем: $1 - 3 + 2 = 0$. Разделив многочлен на $(x-1)$, получим $x^2 - 2x - 2 = 0$. Корни этого уравнения: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Точки пересечения: $(1, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$.

Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x=2$.

- $(-\infty, 0)$: $y'(-1) = 3(-1)(-3) = 9 > 0$, функция возрастает.

- $(0, 2)$: $y'(1) = 3(1)(-1) = -3 < 0$, функция убывает.

- $(2, +\infty)$: $y'(3) = 3(3)(1) = 9 > 0$, функция возрастает.

Точка максимума: $x=0, y_{max} = y(0) = 2$. Точка $(0, 2)$.

Точка минимума: $x=2, y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$. Точка $(2, -2)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.

$y''=0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x=1$.

- $(-\infty, 1)$: $y''(0) = -6 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

- $(1, +\infty)$: $y''(2) = 6 > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точка перегиба: $x=1, y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$, убывает на $(0, 2)$. Точка максимума $(0, 2)$, точка минимума $(2, -2)$. График вогнутый на $(-\infty, 1)$ и выпуклый на $(1, \infty)$. Точка перегиба $(1, 0)$. Пересечение с осями: $(0, 2)$, $(1, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$.

3) Исследование функции $y = 2x + \frac{2}{x}$

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = 2(-x) + \frac{2}{-x} = -2x - \frac{2}{x} = -(2x + \frac{2}{x}) = -y(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x \neq 0$, пересечения нет.

С осью OX: $y=0 \implies 2x + \frac{2}{x} = 0 \implies \frac{2x^2+2}{x} = 0$. Уравнение $2x^2+2=0$ не имеет действительных корней. Пересечения нет.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$. $\lim_{x \to 0^+} (2x + \frac{2}{x}) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} (2x + \frac{2}{x}) = -\infty$.

Наклонная асимптота: $y = kx + b$. $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (2 + \frac{2}{x^2}) = 2$. $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (2x + \frac{2}{x} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$. Наклонная асимптота $y=2x$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $y' = 2 - \frac{2}{x^2}$.

Критические точки ($y'=0$): $2 - \frac{2}{x^2} = 0 \implies x^2=1 \implies x = \pm 1$.

- $(-\infty, -1)$: $y'(-2) = 2 - \frac{2}{4} > 0$, возрастает.

- $(-1, 0)$: $y'(-0.5) = 2 - \frac{2}{0.25} < 0$, убывает.

- $(0, 1)$: $y'(0.5) = 2 - \frac{2}{0.25} < 0$, убывает.

- $(1, +\infty)$: $y'(2) = 2 - \frac{2}{4} > 0$, возрастает.

Точка максимума: $x=-1, y_{max} = y(-1) = -2 - 2 = -4$. Точка $(-1, -4)$.

Точка минимума: $x=1, y_{min} = y(1) = 2 + 2 = 4$. Точка $(1, 4)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (\frac{4}{x^3})$.

$y'' \neq 0$.

- $(-\infty, 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

- $(0, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точек перегиба нет.

Ответ: Функция нечетная. Область определения $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=0$ и наклонная $y=2x$. Возрастает на $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$, убывает на $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. Точка максимума $(-1, -4)$, точка минимума $(1, 4)$. График вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, \infty)$.

4) Исследование функции $y = \frac{4}{x} - \frac{x}{4}$

1. Область определения. $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = \frac{4}{-x} - \frac{-x}{4} = -\frac{4}{x} + \frac{x}{4} = -(\frac{4}{x} - \frac{x}{4}) = -y(x)$. Функция нечетная.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: пересечения нет.

С осью OX: $y=0 \implies \frac{4}{x} - \frac{x}{4} = 0 \implies \frac{16-x^2}{4x} = 0 \implies 16-x^2 = 0 \implies x = \pm 4$. Точки пересечения $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$. $\lim_{x \to 0^+} (\frac{4}{x} - \frac{x}{4}) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} (\frac{4}{x} - \frac{x}{4}) = -\infty$.

Наклонная асимптота: $y = kx + b$. $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (\frac{4}{x^2} - \frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}$. $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{4}{x} - \frac{x}{4} - (-\frac{1}{4}x)) = 0$. Наклонная асимптота $y = -\frac{1}{4}x$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $y' = -\frac{4}{x^2} - \frac{1}{4}$.

Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, $y' = -\frac{4}{x^2} - \frac{1}{4} < 0$ всегда.Функция убывает на всей области определения: на $(-\infty, 0)$ и на $(0, +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (-4x^{-2} - \frac{1}{4})' = 8x^{-3} = \frac{8}{x^3}$.

$y'' \neq 0$.

- $(-\infty, 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

- $(0, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точек перегиба нет.

Ответ: Функция нечетная. Область определения $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=0$ и наклонная $y = -x/4$. Убывает на всей области определения. Точек экстремума и перегиба нет. Пересечение с осью Ох в точках $(-4, 0)$ и $(4, 0)$. График вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, \infty)$.

23. Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t) = 4t^2 - \frac{1}{2}t$, где $s(t)$ — путь в метрах, $t$ — время в секундах. В какой момент времени из промежутка $[1; 8]$ скорость движения точки будет наибольшей и чему равна величина этой скорости?

Скорость движения материальной точки $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

Задан закон движения: $s(t) = 4t^2 - \frac{1}{2}t$.

Найдем функцию скорости, взяв производную от $s(t)$ по переменной $t$:

$v(t) = s'(t) = (4t^2 - \frac{1}{2}t)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = (4t^2)' - (\frac{1}{2}t)' = 4 \cdot 2t^{2-1} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot t^{1-1} = 8t - \frac{1}{2}$

Таким образом, скорость движения точки в любой момент времени $t$ описывается функцией $v(t) = 8t - 0.5$.

Нам необходимо найти наибольшее значение скорости на промежутке времени $[1; 8]$. Для этого исследуем функцию $v(t) = 8t - 0.5$ на этом отрезке.

Функция $v(t)$ является линейной. Чтобы определить характер ее монотонности, найдем ее производную:

$v'(t) = (8t - 0.5)' = 8$

Так как производная $v'(t) = 8$ положительна при любом значении $t$, функция скорости $v(t)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, а значит, и на отрезке $[1; 8]$.

Наибольшее значение монотонно возрастающая функция на отрезке принимает на его правом конце. Для отрезка $[1; 8]$ правым концом является точка $t = 8$.

Теперь вычислим величину этой наибольшей скорости, подставив значение $t = 8$ в уравнение для скорости:

$v(8) = 8 \cdot 8 - 0.5 = 64 - 0.5 = 63.5$

Следовательно, наибольшая скорость движения точки на данном промежутке достигается в момент времени $t = 8$ с и равна 63,5 м/с.

Ответ: наибольшая скорость достигается в момент времени 8 с и равна 63,5 м/с.

24. 1) Спортивная площадка прямоугольной формы имеет площадь $3600 \text{ м}^2$. Найдите размеры этой площадки, если надо использовать наименьшее количество размера $1 \text{ м} \times 2 \text{ м}$.

2) Одно из оснований и две боковые стороны трапеции равны $15 \text{ см}$. Найдите значение длины второго основания трапеции, чтобы ее площадь была наибольшей.

1)

Пусть стороны прямоугольной площадки равны $a$ и $b$.

Площадь площадки $S = a \cdot b = 3600 \text{ м}^2$.

Фраза "использовать наименьшее количество размера 1 м х 2 м" является не вполне ясной. Наиболее вероятная трактовка этой фразы в контексте математической задачи — это минимизация периметра площадки (например, для установки ограждения с наименьшими затратами материала). Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Нам необходимо найти размеры $a$ и $b$, при которых периметр $P$ будет минимальным при фиксированной площади $S = 3600$.

Выразим одну сторону через другую из формулы площади: $b = \frac{3600}{a}$.

Подставим это выражение в формулу периметра:

$P(a) = 2(a + \frac{3600}{a})$

Для нахождения минимального значения функции найдем ее производную по $a$ и приравняем к нулю.

$P'(a) = \frac{d}{da} (2a + \frac{7200}{a}) = 2 - \frac{7200}{a^2}$

Приравняем производную к нулю:

$2 - \frac{7200}{a^2} = 0$

$2 = \frac{7200}{a^2}$

$2a^2 = 7200$

$a^2 = 3600$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, получаем $a = \sqrt{3600} = 60$ м.

Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = \frac{3600}{a} = \frac{3600}{60} = 60$ м.

Таким образом, для минимизации периметра при заданной площади площадка должна быть квадратом со стороной 60 м. Размеры такого квадрата (60 м х 60 м) кратны 1 м и 2 м, что согласуется с возможной дополнительной трактовкой условия о размерах 1 м х 2 м.

Ответ: размеры площадки 60 м х 60 м.

2)

По условию, трапеция является равнобедренной, так как ее боковые стороны равны. Пусть одно основание $b_1 = 15$ см и боковые стороны $c = 15$ см. Обозначим второе основание через $b_2$, а высоту — через $h$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} h$.

Для нахождения максимума площади удобно выразить ее как функцию одной переменной. Введем угол $\alpha$ между боковой стороной и большим основанием. Для существования трапеции угол должен быть в пределах $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Выразим высоту $h$ и второе основание $b_2$ через $c$ и $\alpha$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c=15$ и острым углом $\alpha$.

Высота трапеции: $h = c \sin\alpha = 15 \sin\alpha$.

Проекция боковой стороны на большее основание равна $c \cos\alpha = 15 \cos\alpha$.

Второе основание $b_2$ будет больше первого: $b_2 = b_1 + 2 \cdot c \cos\alpha = 15 + 2 \cdot 15 \cos\alpha = 15 + 30 \cos\alpha$.

Подставим выражения для $b_2$ и $h$ в формулу площади:

$S(\alpha) = \frac{15 + (15 + 30 \cos\alpha)}{2} \cdot (15 \sin\alpha)$

$S(\alpha) = \frac{30 + 30 \cos\alpha}{2} \cdot 15 \sin\alpha = 15(1 + \cos\alpha) \cdot 15 \sin\alpha = 225(1 + \cos\alpha)\sin\alpha$.

Чтобы найти максимальную площадь, исследуем на экстремум функцию $f(\alpha) = (1 + \cos\alpha)\sin\alpha$. Найдем ее производную:

$f'(\alpha) = (-\sin\alpha)(\sin\alpha) + (1 + \cos\alpha)(\cos\alpha) = -\sin^2\alpha + \cos\alpha + \cos^2\alpha$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$f'(\alpha) = -(1 - \cos^2\alpha) + \cos\alpha + \cos^2\alpha = -1 + \cos^2\alpha + \cos\alpha + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1$.

Приравняем производную к нулю: $2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0$.

Сделаем замену $y = \cos\alpha$. Получим квадратное уравнение $2y^2 + y - 1 = 0$.

Найдем корни: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

Получаем два решения: $y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-4}{4} = -1$.

Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\cos\alpha > 0$. Следовательно, нам подходит только решение $\cos\alpha = \frac{1}{2}$, что соответствует углу $\alpha = 60^{\circ}$.

При этом значении $\cos\alpha$ площадь будет максимальной. Теперь найдем длину второго основания $b_2$:

$b_2 = 15 + 30 \cos\alpha = 15 + 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 + 15 = 30$ см.

Ответ: длина второго основания равна 30 см.

25. Надо огородить участок земли прямоугольной формы, примыкающей одной стороной к реке. Имеется 600 м проволоки. Найдите размеры этого участка, чтобы его площадь была наибольшей.

Для решения этой задачи по оптимизации введем переменные. Пусть $x$ — это длина сторон участка, перпендикулярных реке, а $y$ — это длина стороны, параллельной реке. Так как одна сторона участка примыкает к реке, то ее огораживать не нужно.

Общая длина проволоки, которая используется для ограждения трех сторон, составляет 600 м. Таким образом, мы можем составить уравнение для периметра огороженной части:

$P = x + x + y = 2x + y$

По условию $P = 600$ м, следовательно:

$2x + y = 600$

Площадь $S$ прямоугольного участка вычисляется по формуле:

$S = x \cdot y$

Наша цель — найти такие значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет максимальной. Для этого выразим одну переменную через другую из уравнения для периметра и подставим в формулу площади. Выразим $y$:

$y = 600 - 2x$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $x$:

$S(x) = x \cdot (600 - 2x) = 600x - 2x^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(x) = -2x^2 + 600x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-2 < 0$). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x_0$ вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Для нашей функции $a = -2$ и $b = 600$. Вычислим $x_0$:

$x_0 = -\frac{600}{2 \cdot (-2)} = -\frac{600}{-4} = 150$

Итак, длина сторон, перпендикулярных реке, должна быть равна 150 м. Теперь найдем длину стороны, параллельной реке:

$y = 600 - 2x = 600 - 2 \cdot 150 = 600 - 300 = 300$

Таким образом, размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей, составляют 150 м и 300 м.

Ответ: размеры участка 150 м и 300 м (где сторона длиной 300 м примыкает к реке).

26. Периметр земельного участка в форме прямоугольной трапеции с острым углом в $30^{\circ}$ равна 96 м. Найдите наибольшую площадь этого участка.

Обозначим стороны прямоугольной трапеции. Пусть $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота (она же одна из боковых сторон), а $c$ — вторая (наклонная) боковая сторона. Пусть $a$ — меньшее основание, а $b$ — большее.

В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне, являющейся высотой, прямой. По условию, острый угол трапеции равен $30°$. Проведём вторую высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• Один катет равен высоте трапеции $h$.
• Второй катет равен разности оснований $b - a$.
• Гипотенуза — это наклонная сторона $c$.
• Острый угол этого треугольника, прилежащий к основанию $b$, равен $30°$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:

1. Синус острого угла: $\sin(30°) = \frac{h}{c}$. Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, то $\frac{h}{c} = \frac{1}{2}$, откуда $c = 2h$.

2. Тангенс острого угла: $\tan(30°) = \frac{h}{b-a}$. Так как $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\frac{h}{b-a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, откуда $b-a = h\sqrt{3}$.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон: $P = a + b + h + c$.

По условию, периметр равен 96 м. Подставим выражение для $c$:$a + b + h + 2h = 96$$a + b + 3h = 96$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$.

Чтобы найти наибольшую площадь, выразим площадь как функцию одной переменной. Из уравнения для периметра выразим сумму оснований: $a+b = 96 - 3h$.

Подставим это выражение в формулу площади:$S(h) = \frac{96 - 3h}{2}h = 48h - \frac{3}{2}h^2$.

Мы получили квадратичную функцию $S(h)$ относительно высоты $h$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $h^2$ отрицателен). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Координата вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.В нашем случае $A = -\frac{3}{2}$ и $B = 48$.$h_0 = -\frac{48}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = -\frac{48}{-3} = 16$.

Таким образом, площадь будет максимальной при высоте $h = 16$ м.

Теперь найдём значение этой максимальной площади, подставив $h=16$ в функцию $S(h)$:$S_{max} = 48 \cdot 16 - \frac{3}{2} \cdot 16^2 = 768 - \frac{3}{2} \cdot 256 = 768 - 3 \cdot 128 = 768 - 384 = 384$.

Убедимся, что при $h=16$ м все стороны трапеции имеют положительную длину.$c = 2h = 2 \cdot 16 = 32$ м.$a+b = 96 - 3h = 96 - 3 \cdot 16 = 48$ м.$b-a = h\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ м.Решая систему $\begin{cases} a+b=48 \\ b-a=16\sqrt{3} \end{cases}$, находим $2b = 48 + 16\sqrt{3} \Rightarrow b = 24 + 8\sqrt{3}$ и $2a = 48 - 16\sqrt{3} \Rightarrow a = 24 - 8\sqrt{3}$.Так как $8\sqrt{3} \approx 8 \cdot 1.732 = 13.856 < 24$, то $a > 0$. Все размеры корректны.

Ответ: $384 \text{ м}^2$.