Номер 49, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

49. Используя таблицу 3, задайте функцию формулой и найдите ее значение при $z = 10$.

Таблица 3

$z$: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

$y$: 1, -2, -3, -2, 1, 6, 13

Задайте функцию формулой

Для того чтобы определить вид функции по табличным данным, проанализируем, как изменяется значение y при последовательном увеличении аргумента z на единицу.

1. Найдем первые разности, то есть разности между соседними значениями y:

$y(-1) - y(-2) = -2 - 1 = -3$

$y(0) - y(-1) = -3 - (-2) = -1$

$y(1) - y(0) = -2 - (-3) = 1$

$y(2) - y(1) = 1 - (-2) = 3$

$y(3) - y(2) = 6 - 1 = 5$

$y(4) - y(3) = 13 - 6 = 7$

Так как первые разности не являются постоянной величиной, функция не является линейной.

2. Найдем вторые разности, то есть разности между соседними первыми разностями:

$-1 - (-3) = 2$

$1 - (-1) = 2$

$3 - 1 = 2$

$5 - 3 = 2$

$7 - 5 = 2$

Вторые разности постоянны и равны 2. Это свойство характерно для квадратичной функции вида $y = az^2 + bz + c$. Для такой функции вторая разность равна $2a$.

3. Найдем коэффициенты a, b и c.

Из того, что вторая разность равна 2, следует: $2a = 2$, откуда $a = 1$.

Функция принимает вид $y = z^2 + bz + c$.

Для нахождения c подставим в формулу координаты точки, где $z=0$. Из таблицы это точка $(0; -3)$:

$-3 = (0)^2 + b \cdot 0 + c \implies c = -3$.

Теперь функция имеет вид $y = z^2 + bz - 3$.

Для нахождения b подставим координаты любой другой точки, например, $(1; -2)$:

$-2 = (1)^2 + b \cdot 1 - 3$

$-2 = 1 + b - 3$

$-2 = b - 2 \implies b = 0$.

Таким образом, мы получили искомую формулу. Проверим ее, подставив еще одну точку, например $(2; 1)$:

$y = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Значение совпадает с табличным.

Ответ: $y = z^2 - 3$.

Найдите ее значение при z = 10

Чтобы найти значение функции при $z = 10$, подставим это значение в выведенную формулу $y = z^2 - 3$:

$y = (10)^2 - 3 = 100 - 3 = 97$.

Ответ: 97.