Номер 1.2, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.2 1) $f(x) = 2\sin x;$

2) $f(x) = 5\cos x;$

3) $f(x) = 3\cos x - 4\sin x;$

4) $f(x) = 5\sin x + 2\cos x;$

5) $f(x) = x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}};$

6) $f(x) = x^3 - \frac{4}{\sqrt{x}};$

7) $f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{6}\right);$

8) $f(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right).$

1) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 2\sin x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл. Первообразная $F(x)$ — это функция, производная которой равна $f(x)$.

$F(x) = \int 2\sin x \,dx$

Используя свойство интеграла, выносим константу за его знак:

$F(x) = 2 \int \sin x \,dx$

По таблице первообразных, интеграл от $\sin x$ равен $-\cos x$. Следовательно:

$F(x) = 2(-\cos x) + C = -2\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = -2\cos x + C$.

2) Находим первообразную для $f(x) = 5\cos x$ путем интегрирования.

$F(x) = \int 5\cos x \,dx = 5 \int \cos x \,dx$

Согласно таблице первообразных, интеграл от $\cos x$ равен $\sin x$. Поэтому:

$F(x) = 5\sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 5\sin x + C$.

3) Для функции $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$ используем свойство линейности интеграла (интеграл разности равен разности интегралов).

$F(x) = \int (3\cos x - 4\sin x) \,dx = \int 3\cos x \,dx - \int 4\sin x \,dx$

$F(x) = 3 \int \cos x \,dx - 4 \int \sin x \,dx$

Используя табличные интегралы, получаем:

$F(x) = 3(\sin x) - 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C$.

Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C$.

4) Для функции $f(x) = 5\sin x + 2\cos x$ используем свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов).

$F(x) = \int (5\sin x + 2\cos x) \,dx = \int 5\sin x \,dx + \int 2\cos x \,dx$

$F(x) = 5 \int \sin x \,dx + 2 \int \cos x \,dx$

Используя табличные интегралы, получаем:

$F(x) = 5(-\cos x) + 2(\sin x) + C = 2\sin x - 5\cos x + C$.

Ответ: $F(x) = 2\sin x - 5\cos x + C$.

5) Сначала преобразуем функцию $f(x) = x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}}$ к виду, удобному для интегрирования, используя свойства степеней: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.

$f(x) = x^2 + 3x^{-1/2}$

Теперь находим первообразную, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (x^2 + 3x^{-1/2}) \,dx = \int x^2 \,dx + 3 \int x^{-1/2} \,dx$

$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 6x^{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 6\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 6\sqrt{x} + C$.

6) Преобразуем функцию $f(x) = x^3 - \frac{4}{\sqrt{x}}$ к степенному виду: $f(x) = x^3 - 4x^{-1/2}$.

Находим первообразную, используя правило интегрирования степенной функции.

$F(x) = \int (x^3 - 4x^{-1/2}) \,dx = \int x^3 \,dx - 4 \int x^{-1/2} \,dx$

$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} - 4 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^4}{4} - 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^{1/2} + C = \frac{x^4}{4} - 8\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - 8\sqrt{x} + C$.

7) Для нахождения первообразной сложной функции $f(x) = \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$ используется формула $\int \sin(kx+b) \,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.

В данном случае, коэффициент $k=3$, а сдвиг $b = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = \int \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \,dx = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.

8) Для нахождения первообразной сложной функции $f(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ используется формула $\int \cos(kx+b) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.

В данном случае, коэффициент $k=2$, а сдвиг $b = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = \int \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \,dx = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.