Номер 1.6, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.6. Найдите первообразную $F(x)$ функции $y = f(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b):$

1) $f(x) = x^{-2}$, $M(1; -1)$;

2) $f(x) = x^{-3}$, $M(-1; 0)$;

3) $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$, $x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right)$, $M\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$;

4) $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x} + 1$, $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right]$, $M\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right)$.

1)

Для функции $f(x) = x^{-2}$ и точки $M(1; -1)$.

Общий вид первообразной для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $n = -2$, поэтому общая первообразная для $f(x)$ имеет вид:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $M(1; -1)$, это означает, что при $x=1$ значение $F(x)$ равно $-1$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:

$F(1) = -1$

$-\frac{1}{1} + C = -1$

$-1 + C = -1$

$C = 0$

Следовательно, искомая первообразная имеет вид $F(x) = -\frac{1}{x}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x}$.

2)

Для функции $f(x) = x^{-3}$ и точки $M(-1; 0)$.

Используя ту же формулу для интегрирования степенной функции, где $n = -3$, находим общую первообразную:

$F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

График первообразной проходит через точку $M(-1; 0)$, поэтому $F(-1) = 0$. Подставим значения и найдем $C$:

$F(-1) = 0$

$-\frac{1}{2(-1)^2} + C = 0$

$-\frac{1}{2} + C = 0$

$C = \frac{1}{2}$

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}$.

3)

Для функции $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$ и точки $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$.

Находим общую первообразную, интегрируя функцию по частям. Первообразная от константы 2 равна $2x$, а первообразная от $\frac{1}{\cos^2 x}$ является табличной и равна $\tan x$.

$F(x) = \int (2 - \frac{1}{\cos^2 x}) dx = \int 2 dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 2x - \tan x + C$.

График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, значит $F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$. Подставим значения:

$F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$

$2 \cdot \frac{\pi}{4} - \tan(\frac{\pi}{4}) + C = \frac{\pi}{2}$

Зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$\frac{\pi}{2} - 1 + C = \frac{\pi}{2}$

$C = 1$

Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = 2x - \tan x + 1$.

Ответ: $F(x) = 2x - \tan x + 1$.

4)

Для функции $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x} + 1$ и точки $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Находим общую первообразную. Первообразная от $\frac{1}{\sin^2 x}$ является табличной и равна $-\cot x$, а первообразная от 1 равна $x$.

$F(x) = \int (\frac{2}{\sin^2 x} + 1) dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx + \int 1 dx = 2(-\cot x) + x + C = -2\cot x + x + C$.

График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$, значит $F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$. Подставим значения:

$F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$

$-2\cot(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$

Зная, что $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$-2 \cdot 1 + \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$

$-2 + C = 0$

$C = 2$

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -2\cot x + x + 2$.

Ответ: $F(x) = -2\cot x + x + 2$.