Номер 1.13, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.13. Проверьте, является ли функция $y = F(x)$ первообразной для функции $y = f(x)$ на указанном промежутке:

1) $F(x) = (x - 3)\sqrt{x - 5}, f(x) = 2x - 10 + \frac{x - 3}{\sqrt{x - 5}}, x \in (5; +\infty)$;

2) $F(x) = \frac{2x - 5}{3 + 5x}, f(x) = \frac{31}{(3 + 5x)^2}, x \in (-\infty; -\frac{3}{5}) \cup (-\frac{3}{5};+\infty)$.

1) Для того чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, должно выполняться равенство $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка.

Даны функции: $F(x) = (x - 3)\sqrt{x - 5}$ и $f(x) = 2x - 10 + \frac{x - 3}{\sqrt{x - 5}}$ на промежутке $x \in (5; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x - 3$ и $v(x) = \sqrt{x - 5}$.

Тогда производные этих функций равны: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = (\sqrt{x - 5})' = \frac{1}{2\sqrt{x-5}}$.

Теперь найдем производную $F'(x)$:

$F'(x) = (x - 3)'\sqrt{x - 5} + (x - 3)(\sqrt{x - 5})' = 1 \cdot \sqrt{x - 5} + (x - 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-5}} = \sqrt{x - 5} + \frac{x-3}{2\sqrt{x-5}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{\sqrt{x - 5} \cdot 2\sqrt{x-5} + x-3}{2\sqrt{x-5}} = \frac{2(x-5) + x-3}{2\sqrt{x-5}} = \frac{2x - 10 + x - 3}{2\sqrt{x-5}} = \frac{3x - 13}{2\sqrt{x-5}}$.

Сравним полученную производную $F'(x) = \frac{3x - 13}{2\sqrt{x-5}}$ с функцией $f(x) = 2x - 10 + \frac{x - 3}{\sqrt{x - 5}}$.

Эти выражения не равны. Чтобы показать это, выберем любое значение $x$ из промежутка $(5; +\infty)$, например $x=6$:

$F'(6) = \frac{3 \cdot 6 - 13}{2\sqrt{6-5}} = \frac{18 - 13}{2\sqrt{1}} = \frac{5}{2} = 2.5$.

$f(6) = 2 \cdot 6 - 10 + \frac{6 - 3}{\sqrt{6-5}} = 12 - 10 + \frac{3}{1} = 2 + 3 = 5$.

Поскольку $F'(6) \neq f(6)$, функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.

Ответ: не является.

2) Проверим, является ли функция $F(x) = \frac{2x - 5}{3 + 5x}$ первообразной для функции $f(x) = \frac{31}{(3 + 5x)^2}$ на промежутке $x \in (-\infty; -3/5) \cup (-3/5; +\infty)$. Для этого найдем производную $F'(x)$ и сравним ее с $f(x)$.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x - 5$ и $v(x) = 3 + 5x$.

Тогда их производные: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 5$.

Найдем производную $F'(x)$:

$F'(x) = \frac{(2x - 5)'(3 + 5x) - (2x - 5)(3 + 5x)'}{(3 + 5x)^2} = \frac{2(3 + 5x) - (2x - 5) \cdot 5}{(3 + 5x)^2}$.

Упростим числитель:

$F'(x) = \frac{6 + 10x - (10x - 25)}{(3 + 5x)^2} = \frac{6 + 10x - 10x + 25}{(3 + 5x)^2} = \frac{31}{(3 + 5x)^2}$.

Сравним результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = \frac{31}{(3 + 5x)^2}$ и $f(x) = \frac{31}{(3 + 5x)^2}$.

Так как $F'(x) = f(x)$ на всем указанном промежутке, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: является.