Номер 1.14, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.14. Найдите функцию $F(x)$ по ее производной $F'(x)$ и по условию

$F(a) = b:$

1) $F'(x) = 4x^3 - 3x^2$ и $F(1) = 3;$

2) $F'(x) = 5x^4 - 4x^3 - 2x$ и $F(1) = 4;$

3) $F'(x) = 1 + x + \cos 2x, F(0) = 1;$

4) $F'(x) = \sin 2x + 3x^2, F(0) = 2.$

1) Чтобы найти функцию $F(x)$, мы должны найти первообразную для ее производной $F'(x)$.

Общий вид первообразной для $F'(x) = 4x^3 - 3x^2$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int (4x^3 - 3x^2)dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + C = x^4 - x^3 + C$.

Здесь $C$ — константа интегрирования. Чтобы найти ее значение, используем начальное условие $F(1) = 3$.

Подставляем $x=1$ в выражение для $F(x)$:

$F(1) = 1^4 - 1^3 + C = 1 - 1 + C = C$.

Так как по условию $F(1) = 3$, то $C = 3$.

Таким образом, искомая функция:

$F(x) = x^4 - x^3 + 3$.

Ответ: $F(x) = x^4 - x^3 + 3$.

2) Найдем первообразную для функции $F'(x) = 5x^4 - 4x^3 - 2x$.

$F(x) = \int (5x^4 - 4x^3 - 2x)dx = 5\frac{x^5}{5} - 4\frac{x^4}{4} - 2\frac{x^2}{2} + C = x^5 - x^4 - x^2 + C$.

Используем условие $F(1) = 4$, чтобы найти константу $C$. Подставляем $x=1$:

$F(1) = 1^5 - 1^4 - 1^2 + C = 1 - 1 - 1 + C = -1 + C$.

По условию $F(1) = 4$, следовательно $-1 + C = 4$, откуда $C = 5$.

Искомая функция:

$F(x) = x^5 - x^4 - x^2 + 5$.

Ответ: $F(x) = x^5 - x^4 - x^2 + 5$.

3) Найдем первообразную для функции $F'(x) = 1 + x + \cos(2x)$.

$F(x) = \int (1 + x + \cos(2x))dx = x + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.

Используем условие $F(0) = 1$ для нахождения $C$. Подставляем $x=0$:

$F(0) = 0 + \frac{0^2}{2} + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0) + C = 0 + 0 + \frac{1}{2}\sin(0) + C = C$.

По условию $F(0) = 1$, значит $C=1$.

Искомая функция:

$F(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\sin(2x) + 1$.

Ответ: $F(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\sin(2x) + 1$.

4) Найдем первообразную для функции $F'(x) = \sin(2x) + 3x^2$.

$F(x) = \int (\sin(2x) + 3x^2)dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + 3\frac{x^3}{3} + C = -\frac{1}{2}\cos(2x) + x^3 + C$.

Используем условие $F(0) = 2$ для нахождения $C$. Подставляем $x=0$:

$F(0) = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) + 0^3 + C = -\frac{1}{2}\cos(0) + C = -\frac{1}{2} \cdot 1 + C = -\frac{1}{2} + C$.

По условию $F(0) = 2$, значит $-\frac{1}{2} + C = 2$, откуда $C = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Искомая функция:

$F(x) = x^3 - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{5}{2}$.

Ответ: $F(x) = x^3 - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{5}{2}$.