Номер 1.17, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.17. 1) $F(x) = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin2x + \frac{1}{32}\sin4x$, $f(x) = \sin^4x;$

2) $F(x) = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin2x + \frac{1}{32}\sin4x$, $f(x) = \cos^4x;$

3) $F(x) = |x^2 - 1| - 3x + 3;$, $f(x) = 2x - 3, x \in (1; +\infty).$

1) Чтобы доказать, что функция $F(x) = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x)$ является первообразной для функции $f(x) = \sin^4x$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

Находим производную $F'(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x)\right)' = \frac{3}{8} - \frac{1}{4}\cos(2x) \cdot (2x)' + \frac{1}{32}\cos(4x) \cdot (4x)' = \frac{3}{8} - \frac{1}{4} \cdot 2\cos(2x) + \frac{1}{32} \cdot 4\cos(4x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$.

Теперь преобразуем функцию $f(x) = \sin^4x$, используя формулы понижения степени: $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$ и $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$.

$f(x) = \sin^4x = (\sin^2x)^2 = \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$.

Применим формулу понижения степени к $\cos^2(2x)$, получим $\cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2}$.

Подставим это в выражение для $f(x)$:

$f(x) = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{2 - 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} = \frac{3}{8} - \frac{4}{8}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$.

Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: да, является.

2) Чтобы доказать, что функция $F(x) = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x)$ является первообразной для функции $f(x) = \cos^4x$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

Находим производную $F'(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x)\right)' = \frac{3}{8} + \frac{1}{4}\cos(2x) \cdot (2x)' + \frac{1}{32}\cos(4x) \cdot (4x)' = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} \cdot 2\cos(2x) + \frac{1}{32} \cdot 4\cos(4x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$.

Теперь преобразуем функцию $f(x) = \cos^4x$, используя формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$.

$f(x) = \cos^4x = (\cos^2x)^2 = \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$.

Применим формулу понижения степени к $\cos^2(2x)$, получим $\cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2}$.

Подставим это в выражение для $f(x)$:

$f(x) = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{2 + 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} = \frac{3}{8} + \frac{4}{8}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$.

Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: да, является.

3) Чтобы доказать, что функция $F(x) = |x^2 - 1| - 3x + 3$ является первообразной для функции $f(x) = 2x - 3$ на промежутке $x \in (1; +\infty)$, необходимо найти производную $F'(x)$ на этом промежутке и показать, что она равна $f(x)$.

На промежутке $(1; +\infty)$ выполняется неравенство $x > 1$, из которого следует, что $x^2 > 1$, а значит $x^2 - 1 > 0$.

Следовательно, на данном промежутке модуль можно раскрыть со знаком плюс: $|x^2 - 1| = x^2 - 1$.

Тогда функция $F(x)$ на промежутке $(1; +\infty)$ принимает вид: $F(x) = (x^2 - 1) - 3x + 3 = x^2 - 3x + 2$.

Найдем производную этой функции:

$F'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.

Полученное выражение для $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x) = 2x - 3$ на промежутке $(1; +\infty)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на указанном промежутке.

Ответ: да, является.