Вопросы, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какая форма связи имеется между понятиями производная и первообразная?

2. Может ли первообразная четной (нечетной) функции быть функцией четной (нечетной)? Приведите пример.

3. Запишите конкретный пример на использование всех трех свойств нахождения неопределенного интеграла.

4. Известно, что: 1) $f'(x) = p'(x)$ на [a; b]; 2) $\int f(x)dx = \int p(x)dx$ на [a; b]. Следует ли из этого, что имеет место равенство $f(x) = p(x)$ на этом же промежутке?

1. Какая форма связи имеется между понятиями производная и первообразная?

Связь между понятиями производной и первообразной является фундаментальной в математическом анализе. Эти две операции — нахождение производной (дифференцирование) и нахождение первообразной (интегрирование) — являются взаимно обратными.

По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство:

$F'(x) = f(x)$

Это означает, что производная от первообразной функции $F(x)$ равна исходной функции $f(x)$.

Например, для функции $f(x) = 2x$ первообразной будет функция $F(x) = x^2$, так как $(x^2)' = 2x$.

Важно отметить, что первообразная определяется неоднозначно. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также является первообразной для $f(x)$, поскольку производная от константы равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$.

Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом $\int f(x) dx$. Таким образом, $\int f(x) dx = F(x) + C$.

Итак, дифференцирование и интегрирование связаны следующим образом: операция интегрирования восстанавливает функцию по ее производной с точностью до константы.

Ответ: Нахождение первообразной (интегрирование) является операцией, обратной нахождению производной (дифференцированию). Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то $F'(x) = f(x)$.

2. Может ли первообразная четной (нечетной) функции быть функцией четной (нечетной)? Приведите пример.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Первообразная четной функции.

Пусть $f(x)$ — четная функция, то есть $f(-x) = f(x)$. Ее неопределенный интеграл (множество всех первообразных) равен $F(x) = \int f(x) dx$. Одна из этих первообразных, а именно $G(x) = \int_0^x f(t) dt$, является нечетной функцией. Однако общая форма первообразной $F(x) = G(x) + C$ будет нечетной только при $C=0$. Если $C \neq 0$, то функция $F(x)$ не является ни четной, ни нечетной. Первообразная четной функции (если она не равна тождественно нулю) не может быть четной функцией.

Пример:

Пусть $f(x) = x^2$ — четная функция.Ее первообразная $F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$.Если выбрать $C=0$, то первообразная $F_1(x) = \frac{x^3}{3}$ является нечетной функцией, так как $F_1(-x) = \frac{(-x)^3}{3} = -\frac{x^3}{3} = -F_1(x)$.Если выбрать $C=1$, то первообразная $F_2(x) = \frac{x^3}{3} + 1$ не является ни четной, ни нечетной.Таким образом, первообразная четной функции может быть нечетной, но не может быть четной (за исключением тривиального случая $f(x)=0$).

Случай 2: Первообразная нечетной функции.

Пусть $f(x)$ — нечетная функция, то есть $f(-x) = -f(x)$. Все ее первообразные $F(x) = \int f(x) dx$ являются четными функциями. Первообразная нечетной функции (если она не равна тождественно нулю) не может быть нечетной функцией.

Пример:

Пусть $f(x) = \sin(x)$ — нечетная функция.Ее первообразная $F(x) = \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$.Функция $\cos(x)$ является четной, поэтому и функция $F(x) = -\cos(x) + C$ является четной при любом значении константы $C$, так как $F(-x) = -\cos(-x) + C = -\cos(x) + C = F(x)$.

Ответ:

1. Первообразная четной функции может быть нечетной (при $C=0$), но не может быть четной. Пример: для четной $f(x)=3x^2$ первообразная $F(x)=x^3$ является нечетной.

2. Любая первообразная нечетной функции является четной функцией и не может быть нечетной. Пример: для нечетной $f(x)=x^3$ любая первообразная $F(x)=\frac{x^4}{4}+C$ является четной.

3. Запишите конкретный пример на использование всех трех свойств нахождения неопределенного интеграла.

К основным свойствам нахождения неопределенного интеграла (свойствам линейности) относятся:

1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов: $\int(f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$.

2. Интеграл от разности функций равен разности интегралов: $\int(f(x)-g(x))dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: $\int k \cdot f(x)dx = k \int f(x)dx$.

Пример, использующий все три свойства:

Найдем интеграл $\int(6x^2 - 5e^x + \frac{1}{x})dx$.

1. Используем свойства интеграла от суммы и разности (свойства 1 и 2):

$\int(6x^2 - 5e^x + \frac{1}{x})dx = \int 6x^2 dx - \int 5e^x dx + \int \frac{1}{x} dx$

2. Используем свойство вынесения постоянного множителя за знак интеграла (свойство 3) для первого и второго слагаемых:

$6 \int x^2 dx - 5 \int e^x dx + \int \frac{1}{x} dx$

3. Вычисляем каждый интеграл по отдельности, используя таблицу простейших интегралов:

$6 \cdot (\frac{x^3}{3}) - 5 \cdot (e^x) + \ln|x| + C$

4. Упрощаем полученное выражение:

$2x^3 - 5e^x + \ln|x| + C$

В этом примере мы последовательно применили свойства разложения интеграла на части, вынесения констант и затем использовали табличные значения для нахождения конечного результата.

Ответ: Пример: $\int(6x^2 - 5e^x + \frac{1}{x})dx$. Решение: $\int(6x^2 - 5e^x + \frac{1}{x})dx = 6\int x^2 dx - 5\int e^x dx + \int \frac{1}{x} dx = 6\frac{x^3}{3} - 5e^x + \ln|x| + C = 2x^3 - 5e^x + \ln|x| + C$.

4. Известно, что: 1) $f'(x) = p'(x)$ на $[a; b]$; 2) $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b p(x)dx$. Следует ли из этого, что имеет место равенство $f(x) = p(x)$ на этом же промежутке?

Да, из этих двух условий следует, что $f(x) = p(x)$ на промежутке $[a; b]$. Проведем рассуждение.

1. Рассмотрим первое условие: $f'(x) = p'(x)$ на $[a; b]$.

Это равенство можно переписать в виде $f'(x) - p'(x) = 0$. Используя свойство производной разности, получаем $(f(x) - p(x))' = 0$.

Из следствия теоремы Лагранжа известно, что если производная некоторой функции равна нулю на всем промежутке, то сама функция является постоянной на этом промежутке. Обозначим $h(x) = f(x) - p(x)$. Тогда $h'(x) = 0$ на $[a; b]$, следовательно, $h(x) = C$ для некоторой константы $C$.

Таким образом, из первого условия следует, что $f(x) - p(x) = C$, или $f(x) = p(x) + C$ для всех $x \in [a; b]$.

2. Теперь рассмотрим второе условие: $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b p(x)dx$.

Перенесем все в левую часть: $\int_a^b f(x)dx - \int_a^b p(x)dx = 0$.

По свойству линейности определенного интеграла, это эквивалентно:

$\int_a^b (f(x) - p(x)) dx = 0$.

3. Подставим в это равенство результат, полученный из первого условия, то есть $f(x) - p(x) = C$:

$\int_a^b C dx = 0$.

Вычислим этот определенный интеграл:

$\int_a^b C dx = C \cdot x \Big|_a^b = C(b - a)$.

Таким образом, мы получили равенство $C(b - a) = 0$.

Промежуток $[a; b]$ является невырожденным, то есть $a < b$, а значит, $b - a > 0$.

Поскольку произведение $C(b-a)$ равно нулю, а второй множитель $(b-a)$ не равен нулю, то первый множитель $C$ должен быть равен нулю: $C = 0$.

Возвращаясь к нашему выводу из первого пункта, $f(x) - p(x) = C$, и подставляя $C=0$, получаем:

$f(x) - p(x) = 0$, что означает $f(x) = p(x)$ для всех $x \in [a; b]$.

Ответ: Да, следует. Из условия $f'(x)=p'(x)$ вытекает, что $f(x)=p(x)+C$. Подстановка этого в условие равенства интегралов дает $\int_a^b C dx = C(b-a) = 0$. Так как $b \neq a$, то $C=0$, и, следовательно, $f(x)=p(x)$.