Номер 1.4, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.4. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную, график которой проходит через начало координат:

1) $f(x) = (x+1)(x+3);$

2) $f(x) = (1-x)(3+x);$

3) $f(x) = \frac{x^2}{3} + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right);$

4) $f(x) = -\frac{x^3}{2} + \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right).$

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y = f(x)$, график которой проходит через начало координат, необходимо выполнить два шага:

1. Найти общий вид первообразной $F(x) = \int f(x)dx + C$, где $C$ – произвольная постоянная.

2. Использовать условие, что график проходит через начало координат, то есть $F(0) = 0$, чтобы найти значение постоянной $C$.

1) Для функции $f(x) = (x + 1)(x + 3)$, сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$f(x) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3$.

Теперь найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (x^2 + 4x + 3) dx = \frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + 3x + C = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + C$.

Используем условие $F(0) = 0$:

$F(0) = \frac{0^3}{3} + 2(0)^2 + 3(0) + C = 0$

$0 + C = 0$, откуда $C = 0$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x$.

2) Для функции $f(x) = (1 - x)(3 + x)$, сначала упростим выражение:

$f(x) = 3 + x - 3x - x^2 = -x^2 - 2x + 3$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (-x^2 - 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x + C = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x + C$.

Используем условие $F(0) = 0$:

$F(0) = -\frac{0^3}{3} - 0^2 + 3(0) + C = 0$

$0 + C = 0$, откуда $C = 0$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.

3) Для функции $f(x) = \frac{x^2}{3} + \sin(x + \frac{\pi}{3})$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (\frac{x^2}{3} + \sin(x + \frac{\pi}{3})) dx = \frac{1}{3}\frac{x^3}{3} - \cos(x + \frac{\pi}{3}) + C = \frac{x^3}{9} - \cos(x + \frac{\pi}{3}) + C$.

Используем условие $F(0) = 0$:

$F(0) = \frac{0^3}{9} - \cos(0 + \frac{\pi}{3}) + C = 0$

$-\cos(\frac{\pi}{3}) + C = 0$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то:

$-\frac{1}{2} + C = 0$, откуда $C = \frac{1}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{9} - \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{9} - \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

4) Для функции $f(x) = -\frac{x^3}{2} + \cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (-\frac{x^3}{2} + \cos(x - \frac{\pi}{6})) dx = -\frac{1}{2}\frac{x^4}{4} + \sin(x - \frac{\pi}{6}) + C = -\frac{x^4}{8} + \sin(x - \frac{\pi}{6}) + C$.

Используем условие $F(0) = 0$:

$F(0) = -\frac{0^4}{8} + \sin(0 - \frac{\pi}{6}) + C = 0$

$\sin(-\frac{\pi}{6}) + C = 0$.

Так как $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, то:

$-\frac{1}{2} + C = 0$, откуда $C = \frac{1}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{x^4}{8} + \sin(x - \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^4}{8} + \sin(x - \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{2}$.