Номер 2.10, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2.10. Найдите интеграл:

1) $\int x \arcsin x dx;$

2) $\int x \arccos x dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int x \arcsin x \,dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u \,dv = uv - \int v \,du$.

Пусть $u = \arcsin x$ и $dv = x \,dx$.

Тогда $du = (\arcsin x)' \,dx = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$, а $v = \int x \,dx = \frac{x^2}{2}$.

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

$\int x \arcsin x \,dx = \frac{x^2}{2} \arcsin x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \frac{x^2}{2} \arcsin x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.

Теперь найдем оставшийся интеграл $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$. Преобразуем подынтегральное выражение, прибавив и вычтя 1 в числителе:

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \int \frac{x^2 - 1 + 1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \int \frac{-(1-x^2) + 1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \int \left( -\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) \,dx$

$= \int \left( -\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) \,dx = -\int \sqrt{1-x^2} \,dx + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.

Первый интеграл $\int \sqrt{1-x^2} \,dx$ является табличным (или находится с помощью тригонометрической подстановки $x = \sin t$), его значение равно $\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x$.

Второй интеграл $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$ также является табличным и равен $\arcsin x$.

Следовательно, $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = -\left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x \right) + \arcsin x = -\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x$.

Подставим найденный результат обратно в исходное выражение:

$\int x \arcsin x \,dx = \frac{x^2}{2} \arcsin x - \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x \right) + C$

$= \frac{x^2}{2} \arcsin x + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{4}\arcsin x + C = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\right)\arcsin x + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C$

$= \frac{2x^2-1}{4}\arcsin x + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C$.

Ответ: $\frac{2x^2-1}{4}\arcsin x + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int x \arccos x \,dx$ также воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u \,dv = uv - \int v \,du$.

Пусть $u = \arccos x$ и $dv = x \,dx$.

Тогда $du = (\arccos x)' \,dx = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$, а $v = \int x \,dx = \frac{x^2}{2}$.

Подставляем в формулу:

$\int x \arccos x \,dx = \frac{x^2}{2} \arccos x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \,dx = \frac{x^2}{2} \arccos x + \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.

Интеграл $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$ был вычислен в предыдущем пункте:

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = -\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x$.

Подставим этот результат:

$\int x \arccos x \,dx = \frac{x^2}{2} \arccos x + \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x \right) + C$

$= \frac{x^2}{2} \arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{4}\arcsin x + C$.

Чтобы привести ответ к более однородному виду, выразим $\arcsin x$ через $\arccos x$ с помощью тождества $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, откуда $\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x$.

$\frac{x^2}{2} \arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\pi}{2} - \arccos x\right) + C = \frac{x^2}{2} \arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\arccos x + C$

$= \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\right)\arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C_1$, где $C_1 = C + \frac{\pi}{8}$ - новая константа интегрирования.

$= \frac{2x^2-1}{4}\arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C_1$.

Ответ: $\frac{2x^2-1}{4}\arccos x - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C$.