Страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1.19. Постройте график функции в программе "Живая геометрия":

1) $f(x) = 3 - \sqrt{3-x}$;

2) $f(x) = 1 + \sqrt{4-x}$;

3) $f(x) = \sqrt{x+1} - 2$;

4) $f(x) = -\sqrt{x-1} + 2$.

1) Для построения графика функции $f(x) = 3 - \sqrt{3 - x}$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Шаги построения:1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и идущая вправо и вверх.2. Отражаем график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси OY, чтобы получить график $y = \sqrt{-x}$.3. Сдвигаем полученный график $y = \sqrt{-x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Получаем график функции $y = \sqrt{-(x-3)} = \sqrt{3-x}$. Начало ветви параболы перемещается в точку $(3, 0)$.4. Отражаем график $y = \sqrt{3-x}$ симметрично относительно оси OX, чтобы получить $y = -\sqrt{3-x}$.5. Сдвигаем последний график на 3 единицы вверх вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = 3 - \sqrt{3-x}$.

В результате этих преобразований мы получаем ветвь параболы, которая выходит из точки $(3, 3)$ и направлена влево и вниз.

Область определения: $3 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 3$, то есть $D(f) = (-\infty; 3]$.

Область значений: $y \le 3$, то есть $E(f) = (-\infty; 3]$.

Контрольные точки: $(3, 3)$, $(2, 2)$, $(-1, 1)$, $(-6, 0)$.

Ответ: График функции – это ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в точке $(3, 3)$, направленная влево и вниз.

2) Для построения графика функции $f(x) = 1 + \sqrt{4 - x}$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Шаги построения:1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.2. Отражаем график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси OY, чтобы получить $y = \sqrt{-x}$.3. Сдвигаем полученный график $y = \sqrt{-x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси OX. Получаем график функции $y = \sqrt{-(x-4)} = \sqrt{4-x}$. Начало ветви перемещается в точку $(4, 0)$.4. Сдвигаем последний график на 1 единицу вверх вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = 1 + \sqrt{4-x}$.

В результате этих преобразований мы получаем ветвь параболы, которая выходит из точки $(4, 1)$ и направлена влево и вверх.

Область определения: $4 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 4$, то есть $D(f) = (-\infty; 4]$.

Область значений: $y \ge 1$, то есть $E(f) = [1; +\infty)$.

Контрольные точки: $(4, 1)$, $(3, 2)$, $(0, 3)$, $(-5, 4)$.

Ответ: График функции – это ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в точке $(4, 1)$, направленная влево и вверх.

3) Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x + 1} - 2$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Шаги построения:1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.2. Сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси OX. Получаем график функции $y = \sqrt{x+1}$. Начало ветви перемещается в точку $(-1, 0)$.3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = \sqrt{x+1} - 2$.

В результате этих преобразований мы получаем ветвь параболы, которая выходит из точки $(-1, -2)$ и направлена вправо и вверх.

Область определения: $x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$, то есть $D(f) = [-1; +\infty)$.

Область значений: $y \ge -2$, то есть $E(f) = [-2; +\infty)$.

Контрольные точки: $(-1, -2)$, $(0, -1)$, $(3, 0)$, $(8, 1)$.

Ответ: График функции – это ветвь параболы, симметричной оси OY, с вершиной в точке $(-1, -2)$, направленная вправо и вверх.

4) Для построения графика функции $f(x) = -\sqrt{x - 1} + 2$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Шаги построения:1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.2. Сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX. Получаем график функции $y = \sqrt{x-1}$. Начало ветви перемещается в точку $(1, 0)$.3. Отражаем полученный график $y = \sqrt{x-1}$ симметрично относительно оси OX, чтобы получить $y = -\sqrt{x-1}$.4. Сдвигаем последний график на 2 единицы вверх вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = -\sqrt{x-1} + 2$.

В результате этих преобразований мы получаем ветвь параболы, которая выходит из точки $(1, 2)$ и направлена вправо и вниз.

Область определения: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$, то есть $D(f) = [1; +\infty)$.

Область значений: $y \le 2$, то есть $E(f) = (-\infty; 2]$.

Контрольные точки: $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(5, 0)$, $(10, -1)$.

Ответ: График функции – это ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в точке $(1, 2)$, направленная вправо и вниз.

1.20. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 2x - \sqrt{x^2 + 5x};$

2) $f(x) = x^2 - \sqrt{x^2 + 4x + 4};$

3) $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3} + \frac{1}{\sqrt{4 - x}};$

4) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} + \sqrt{16 - x^2}.$

1) $f(x) = 2x - \sqrt{x^2 + 5x}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$x^2 + 5x \ge 0$

Разложим левую часть неравенства на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(x+5) \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x+5) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Для решения неравенства используем метод интервалов. Отметим точки $-5$ и $0$ на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -5]$, $[-5, 0]$ и $[0, +\infty)$.

Парабола $y = x^2 + 5x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения на интервалах вне корней.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $x \le -5$ и $x \ge 0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -5] \cup [0, +\infty)$.

2) $f(x) = x^2 - \sqrt{x^2 + 4x + 4}$

Область определения функции ограничивается условием неотрицательности подкоренного выражения.

$x^2 + 4x + 4 \ge 0$

Выражение в левой части неравенства представляет собой формулу квадрата суммы (полный квадрат):

$(x+2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

3) $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3} + \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$

Область определения данной функции находится из системы двух условий:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным.

2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным (так как деление на ноль недопустимо).

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 3 \ge 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 3 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство верно при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравен

1.21. Найдите производную функции:

1) $y = (2x - 7)^5 + 4x^2$;

2) $y = 3(3x^2 - 5x)^4 - x^6$;

3) $y = \sin^2 3x + 2x$;

4) $y = \cos^2 3x - x^3 + \sqrt{3}$.

1) Для функции $y = (2x - 7)⁵ + 4x²$ производная находится как сумма производных: $y' = ((2x - 7)⁵)' + (4x²)'.$

Первое слагаемое $(2x - 7)⁵$ является сложной функцией. Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$((2x - 7)⁵)' = 5(2x - 7)^{5-1} \cdot (2x - 7)' = 5(2x - 7)⁴ \cdot 2 = 10(2x - 7)⁴.$

Производная второго слагаемого находится по правилу для степенной функции: $(4x²)' = 4 \cdot 2x = 8x.$

Складываем полученные результаты: $y' = 10(2x - 7)⁴ + 8x.$

Ответ: $10(2x - 7)⁴ + 8x$.

2) Для функции $y = 3(3x² - 5x)⁴ - x⁶$ производная находится как разность производных: $y' = (3(3x² - 5x)⁴)' - (x⁶)'.$

Для первого слагаемого $3(3x² - 5x)⁴$ используем правило дифференцирования произведения константы на сложную функцию.

$(3(3x² - 5x)⁴)' = 3 \cdot 4(3x² - 5x)^{4-1} \cdot (3x² - 5x)' = 12(3x² - 5x)³ \cdot (6x - 5).$

Производная второго слагаемого: $(x⁶)' = 6x⁵.$

Вычитая второе из первого, получаем: $y' = 12(6x - 5)(3x² - 5x)³ - 6x⁵.$

Ответ: $12(6x - 5)(3x² - 5x)³ - 6x⁵$.

3) Для функции $y = \sin²3x + 2x$ найдем производную как сумму производных: $y' = (\sin²3x)' + (2x)'.$

Первое слагаемое $\sin²3x$ можно записать как $(\sin(3x))²$. Это сложная функция. Применяем цепное правило дифференцирования.

$(\sin²3x)' = 2\sin^{2-1}(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2\sin(3x)\cos(3x) \cdot 3.$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, упрощаем выражение:

$3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin(6x).$

Производная второго слагаемого: $(2x)' = 2.$

Складывая результаты, получаем: $y' = 3\sin(6x) + 2.$

Ответ: $3\sin(6x) + 2$.

4) Для функции $y = \cos³3x - x³ + \sqrt{3}$ найдем производную по правилам дифференцирования суммы и разности: $y' = (\cos³3x)' - (x³)' + (\sqrt{3})'.$

Первое слагаемое $\cos³3x = (\cos(3x))³$ является сложной функцией.

$(\cos³3x)' = 3\cos^{3-1}(3x) \cdot (\cos(3x))' = 3\cos²(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 3\cos²(3x)(-\sin(3x)) \cdot 3 = -9\cos²(3x)\sin(3x).$

Производная второго слагаемого: $(x³)' = 3x².$

Третье слагаемое $\sqrt{3}$ является константой, поэтому его производная равна нулю: $(\sqrt{3})' = 0.$

Собираем все вместе: $y' = -9\cos²(3x)\sin(3x) - 3x² + 0 = -9\cos²(3x)\sin(3x) - 3x².$

Ответ: $-9\cos²(3x)\sin(3x) - 3x²$.