Номер 3.7, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = -x^3$, $x = -3$, $y = 0$;

2) $y = -2x^3$, $x = -2$, $y = 0$;

3) $y = 1 - x^3$, $x = 0$, $y = 0$;

4) $y = 1 - x^2$, $y = 0$;

5) $y = -x^2 + 2x + 3$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

6) $y = -x^2 - 2x + 2$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 0$;

7) $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$, $x = 4$;

8) $y = -\frac{3}{x^3}$, $y = -3x$, $x = -4$.

1) Фигура ограничена графиком функции $y = -x^3$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальной прямой $x=-3$. Для нахождения площади необходимо определить пределы интегрирования. Одна граница задана условием $x = -3$. Вторую границу найдем из точки пересечения графика функции $y = -x^3$ с осью $y=0$: $-x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$. Таким образом, пределы интегрирования: от $a = -3$ до $b = 0$. На интервале $[-3, 0]$ функция $y = -x^3$ является неотрицательной ($y \ge 0$), так как для любого отрицательного $x$, $x^3$ будет отрицательным, а $-x^3$ — положительным. Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от функции: $S = \int_{-3}^{0} (-x^3) dx = -\left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-3}^{0} = -\left( \frac{0^4}{4} - \frac{(-3)^4}{4} \right) = -\left( 0 - \frac{81}{4} \right) = \frac{81}{4} = 20.25$.

Ответ: $20.25$.

2) Фигура ограничена линиями $y = -2x^3$, $x = -2$ и $y = 0$. Пределы интегрирования определяются прямой $x=-2$ и точкой пересечения графика $y = -2x^3$ с осью $y=0$: $-2x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$. Интегрируем по отрезку $[-2, 0]$. На этом отрезке функция $y = -2x^3$ неотрицательна ($y \ge 0$). Площадь фигуры равна: $S = \int_{-2}^{0} (-2x^3) dx = -2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} = -2 \left( \frac{0^4}{4} - \frac{(-2)^4}{4} \right) = -2 \left( 0 - \frac{16}{4} \right) = -2(-4) = 8$.

Ответ: $8$.

3) Фигура ограничена линиями $y = 1 - x^3$, $x = 0$ и $y = 0$. Пределы интегрирования: один предел задан ($x=0$), второй найдем из пересечения $y=1-x^3$ с $y=0$: $1 - x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$. Интегрируем по отрезку $[0, 1]$. На этом отрезке функция $y = 1 - x^3$ неотрицательна ($y \ge 0$), так как при $x \in [0, 1]$, $x^3 \le 1$. Площадь фигуры равна: $S = \int_{0}^{1} (1 - x^3) dx = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( 0 - \frac{0^4}{4} \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

4) Фигура ограничена параболой $y = 1 - x^2$ и осью абсцисс $y=0$. Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $1 - x^2 = 0$: $x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$. Интегрируем по отрезку $[-1, 1]$. На этом отрезке парабола $y = 1 - x^2$ находится выше оси $x$, то есть $y \ge 0$. Площадь фигуры равна: $S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

5) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 + 2x + 3$, осью $y=0$ и прямыми $x=0$, $x=2$. Пределы интегрирования заданы: от $a=0$ до $b=2$. Проверим знак функции на отрезке $[0, 2]$. Найдем корни уравнения $-x^2 + 2x + 3 = 0$: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция положительна между корнями, то есть на интервале $(-1, 3)$. Отрезок $[0, 2]$ полностью входит в этот интервал, значит $y \ge 0$ на $[0, 2]$. Площадь фигуры равна: $S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x + 3) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{0}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + 2^2 + 3 \cdot 2 \right) - 0 = -\frac{8}{3} + 4 + 6 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $\frac{22}{3}$.

6) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 - 2x + 2$, осью $y=0$ и прямыми $x=-1$, $x=0$. Пределы интегрирования заданы: от $a=-1$ до $b=0$. Проверим знак функции на отрезке $[-1, 0]$. Найдем корни уравнения $-x^2 - 2x + 2 = 0$: $x^2 + 2x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4(1)(-2) = 12$. Корни $x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Ветви параболы направлены вниз, функция положительна на интервале $(-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3})$. Отрезок $[-1, 0]$ лежит внутри этого интервала, так как $-1-\sqrt{3} \approx -2.73$ и $-1+\sqrt{3} \approx 0.73$. Следовательно, $y \ge 0$ на $[-1, 0]$. Площадь фигуры равна: $S = \int_{-1}^{0} (-x^2 - 2x + 2) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( -\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 2(-1) \right) = -\left( \frac{1}{3} - 1 - 2 \right) = -\left( \frac{1}{3} - 3 \right) = - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

7) Фигура ограничена линиями $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$ и $x = 4$. Найдем точку пересечения кривых $y = \frac{16}{x^2}$ и $y = 2x$: $\frac{16}{x^2} = 2x \Rightarrow 16 = 2x^3 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$. Фигура ограничена вертикальными прямыми $x=2$ и $x=4$. На отрезке $[2, 4]$ определим, какая из функций больше. Возьмем пробную точку $x=3$: $y_1 = \frac{16}{3^2} = \frac{16}{9}$, $y_2 = 2 \cdot 3 = 6$. Так как $6 > \frac{16}{9}$, то на отрезке $[2, 4]$ график $y=2x$ лежит выше графика $y = \frac{16}{x^2}$. Площадь вычисляется как интеграл разности функций: $S = \int_{2}^{4} \left( 2x - \frac{16}{x^2} \right) dx = \left[ x^2 - 16 \left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) \right]_{2}^{4} = \left[ x^2 + \frac{16}{x} \right]_{2}^{4}$. $S = \left( 4^2 + \frac{16}{4} \right) - \left( 2^2 + \frac{16}{2} \right) = (16+4) - (4+8) = 20 - 12 = 8$.

Ответ: $8$.

8) Фигура ограничена линиями $y = -\frac{3}{x^3}$, $y = -3x$ и $x = -4$. Найдем точки пересечения кривых $y = -\frac{3}{x^3}$ и $y = -3x$: $-\frac{3}{x^3} = -3x \Rightarrow \frac{1}{x^3} = x \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Учитывая прямую $x=-4$, нас интересует область в левой полуплоскости. Пределы интегрирования: от $x=-4$ до $x=-1$. На отрезке $[-4, -1]$ сравним функции. Возьмем пробную точку $x=-2$: $y_1 = -\frac{3}{(-2)^3} = \frac{3}{8}$, $y_2 = -3(-2) = 6$. Так как $6 > \frac{3}{8}$, то на отрезке $[-4, -1]$ график $y=-3x$ лежит выше графика $y = -\frac{3}{x^3}$. Площадь фигуры равна интегралу разности: $S = \int_{-4}^{-1} \left( -3x - \left(-\frac{3}{x^3}\right) \right) dx = \int_{-4}^{-1} \left( -3x + 3x^{-3} \right) dx$. $S = \left[ -3\frac{x^2}{2} + 3\frac{x^{-2}}{-2} \right]_{-4}^{-1} = \left[ -\frac{3x^2}{2} - \frac{3}{2x^2} \right]_{-4}^{-1}$. $S = \left( -\frac{3(-1)^2}{2} - \frac{3}{2(-1)^2} \right) - \left( -\frac{3(-4)^2}{2} - \frac{3}{2(-4)^2} \right) = \left( -\frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right) - \left( -\frac{3 \cdot 16}{2} - \frac{3}{2 \cdot 16} \right)$. $S = -3 - \left( -24 - \frac{3}{32} \right) = -3 + 24 + \frac{3}{32} = 21 + \frac{3}{32} = \frac{21 \cdot 32 + 3}{32} = \frac{672+3}{32} = \frac{675}{32}$.

Ответ: $\frac{675}{32}$.