Номер 3.14, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.14. 1) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, касательной к нему в точке с абсциссой $x = 1$ и осью $Oy$.

2) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и касательными к нему в точке $x = 1$ и $x = 0$.

1)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, касательной к этому графику в точке с абсциссой $x = 1$ и осью ординат ($Oy$).

Сначала найдем уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 1$.

1. Найдем координаты точки касания:

Абсцисса: $x_0 = 1$.

Ордината: $y_0 = f(x_0) = 1^3 = 1$.

Точка касания: $(1, 1)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в точке касания):

$k = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.

4. Запишем уравнение касательной, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$:

$y - 1 = 3(x - 1)$

$y - 1 = 3x - 3$

$y = 3x - 2$.

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x^3$, $y = 3x - 2$ и осью $Oy$ (то есть линией $x=0$). Фигура ограничена слева прямой $x=0$ и справа абсциссой точки касания $x=1$. В интервале $[0, 1]$ график функции $y = x^3$ находится выше касательной $y = 3x - 2$.

Площадь $S$ можно вычислить с помощью определенного интеграла как разность площадей под графиками верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=1$:

$S = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) = x^3$ и $g(x) = 3x - 2$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{0}^{1} (x^3 - (3x - 2)) dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx$

Найдем первообразную:

$\int (x^3 - 3x + 2) dx = \frac{x^4}{4} - 3\frac{x^2}{2} + 2x + C$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0\right)$

$S = \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - 0 = \frac{1 - 6 + 8}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и касательными к нему в точках с абсциссами $x = 1$ и $x = 0$.

Сначала найдем уравнения обеих касательных.

1. Касательная в точке $x = 1$:

Из предыдущего пункта мы знаем, что уравнение этой касательной: $y = 3x - 2$.

2. Касательная в точке $x = 0$:

Абсцисса: $x_0 = 0$.

Ордината: $y_0 = f(0) = 0^3 = 0$.

Производная: $f'(x) = 3x^2$.

Угловой коэффициент: $k = f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$.

Уравнение касательной: $y - 0 = 0(x - 0)$, что дает $y = 0$ (ось $Ox$).

Фигура ограничена тремя кривыми: $y=x^3$, $y=3x-2$ и $y=0$. Чтобы найти площадь, нужно определить, как эти линии ограничивают область. Найдем точку пересечения двух касательных:

$3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$.

Это означает, что нижняя граница фигуры состоит из двух отрезков прямых: $y=0$ на интервале $x \in [0, 2/3]$ и $y=3x-2$ на интервале $x \in [2/3, 1]$. Верхней границей является кривая $y=x^3$.

Площадь $S$ нужно вычислять как сумму двух интегралов:

$S_1$ на интервале $[0, 2/3]$: ограничена сверху $y=x^3$ и снизу $y=0$.

$S_1 = \int_{0}^{2/3} (x^3 - 0) dx = \int_{0}^{2/3} x^3 dx$.

$S_2$ на интервале $[2/3, 1]$: ограничена сверху $y=x^3$ и снизу $y=3x-2$.

$S_2 = \int_{2/3}^{1} (x^3 - (3x - 2)) dx = \int_{2/3}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx$.

Вычислим $S_1$:

$S_1 = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2/3} = \frac{(2/3)^4}{4} - 0 = \frac{16/81}{4} = \frac{4}{81}$.

Вычислим $S_2$:

$S_2 = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{2/3}^{1} = \left(\frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{(2/3)^4}{4} - \frac{3 \cdot (2/3)^2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{3}\right)$

$S_2 = \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - \left(\frac{16/81}{4} - \frac{3 \cdot 4/9}{2} + \frac{4}{3}\right)$

$S_2 = \left(\frac{1 - 6 + 8}{4}\right) - \left(\frac{4}{81} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}\right)$

$S_2 = \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{81} + \frac{2}{3}\right) = \frac{3}{4} - \left(\frac{4 + 54}{81}\right) = \frac{3}{4} - \frac{58}{81}$

$S_2 = \frac{3 \cdot 81 - 58 \cdot 4}{324} = \frac{243 - 232}{324} = \frac{11}{324}$.

Общая площадь $S = S_1 + S_2$:

$S = \frac{4}{81} + \frac{11}{324} = \frac{4 \cdot 4}{324} + \frac{11}{324} = \frac{16 + 11}{324} = \frac{27}{324}$.

Сократим дробь: $27 = 3^3$, $324 = 18^2 = (2 \cdot 3^2)^2 = 4 \cdot 3^4$.

$S = \frac{27}{324} = \frac{3^3}{4 \cdot 3^4} = \frac{1}{4 \cdot 3} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.