Номер 4.3, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции (4.3–4.4):

4.3. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} dx$;

2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{4} dx$;

3) $\int_0^1 \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 1} dx$;

4) $\int_3^5 \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} dx$.

1) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} dx$ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$. Получаем:

$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

Теперь подставим это выражение в интеграл:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $(1 - \cos x)$. Первообразная равна $x - \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [x - \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2}\right) - (0 - \sin 0) \right)$

Так как $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\sin 0 = 0$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) - (0 - 0) \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

2) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{4} dx$ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{4}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$. Получаем:

$\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2}$

Подставим в интеграл:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \cos \frac{x}{2}\right) dx$

Найдем первообразную для функции $1 + \cos \frac{x}{2}$. Первообразная равна $x + 2\sin \frac{x}{2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left[x + 2\sin \frac{x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} + 2\sin\frac{\pi/2}{2}\right) - (0 + 2\sin 0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\sin\frac{\pi}{4} - 0 \right)$

Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \sqrt{2} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

3) Для вычисления интеграла $\int_0^1 \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 1} dx$ упростим подынтегральную функцию.

Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)$

Теперь сократим дробь (это возможно, так как на отрезке $[0, 1]$ знаменатель $x+1$ не равен нулю):

$\frac{(x^2 + 1)(x + 1)}{x + 1} = x^2 + 1$

Интеграл принимает вид:

$\int_0^1 (x^2 + 1) dx$

Найдем первообразную для $x^2 + 1$. Она равна $\frac{x^3}{3} + x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0\right) = \frac{1}{3} + 1 - 0 = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

4) Для вычисления интеграла $\int_3^5 \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} dx$ упростим подынтегральную функцию.

Разложим числитель $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$ (по теореме Виета). Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Сократим дробь (это возможно, так как на отрезке $[3, 5]$ знаменатель $x-2$ не равен нулю):

$\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3$

Интеграл принимает вид:

$\int_3^5 (x - 3) dx$

Найдем первообразную для $x - 3$. Она равна $\frac{x^2}{2} - 3x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_3^5 = \left(\frac{5^2}{2} - 3 \cdot 5\right) - \left(\frac{3^2}{2} - 3 \cdot 3\right) = \left(\frac{25}{2} - 15\right) - \left(\frac{9}{2} - 9\right)$

$\left(\frac{25}{2} - \frac{30}{2}\right) - \left(\frac{9}{2} - \frac{18}{2}\right) = -\frac{5}{2} - \left(-\frac{9}{2}\right) = -\frac{5}{2} + \frac{9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2$